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0449. Che proporzione c'è tra la Terra e la Luna

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Alessia

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Le dimensioni di Terra e Luna sono piuttosto differenti. Assumendo per esse una struttura perfettamente sferica (assunzione che costituisce un’approssimazione, dato che in realtà la Terra risulta schiacciata ai poli) il nostro pianeta ed il suo satellite risultano caratterizzati, rispettivamente, da un raggio pari a rT=6371 km e rL=1738 km.

Per stimare la forza peso icona_esperto[102] icona_esperto[252]avvertita sulla superficie di questi due corpi, insieme con il raggio va però considerata anche la quantità di materia che essi contengono, ovvero la loro massa. La massa della Terra risulta essere all’incirca m=5.976 x 1024kg, mentre quella della Luna si stima essere pari a m=7.348 x 1022kg.

A partire da queste quantità è interessante ricavare la differenza nella forza peso avvertita sulle superfici di Terra e Luna; la stessa differenza che, quando Neil Armstrong atterrò per la prima volta sulla superficie lunare e compì i suoi primi passi (tra cui il famoso piccolo passo per un uomo che costituiva un grande balzo per l’umanità), causò quell’incedere insolito nell’astronauta, dovuto non solo all’attrezzatura che ne ostacolava i movimenti, ma anche alla ridotta entità della forza gravitazionale che egli avvertita passeggiando sulla superficie lunare. Per stimare la forza gravitazionale avvertita da un uomo che cammina sulla superficie di un pianeta si parte dalla legge di gravitazione universale di Newton

F=G M m_(uomo)/r2

che mette in relazione la forza gravitazionale con la massa e la distanza dei corpi coinvolti. Nell’espressione precedente, G rappresenta la costante di gravitazione universale icona_esperto[101], una delle grandezze fondamentali della fisica. Date le caratteristiche del campo gravitazionale si può assumere, sfruttando il Teorema di Gauss icona_minibiografia icona_esperto[444] , che la massa del corpo in questione (T=terra, L=luna) sia interamente concentrata nel centro di esso, così che la distanza di un uomo che cammina in superficie– dotato di massa m_(uomo) - dalla “quantità di materia” contenuta nel pianeta sia pari al raggio di quest’ultimo. Per descrivere l’entità della forza si introduce una grandezza chiamata accelerazione gravitazionale, g, che corrisponde al prodotto di tre dei quattro termini che appaiono nell’espressione di F, ovvero

g = G M/r2

Confrontando questa espressione con la precedente, si deduce che la forza F che agisce su un uomo sulla superficie di un pianeta sarà data dal prodotto F = m_(uomo) g.

Inserendo nell'espressione precedente i valori delle masse e dei raggi di Terra e Luna si trova che, nel nostro pianeta, g~9.81m/s2, mentre sulla Luna si ha g~1.66m/s2. Essendo il rapporto tra questi due numeri pari circa a 6, la forza gravitazionale avvertita sulla Luna sarà sei volte più debole di quella avvertita sulla superficie terrestre. Ecco perché quando gli astronauti camminano sulla Luna sembrano quasi saltare!

Confrontando i valori delle masse dei due pianeti e le relative costanti gravitazionali, viene da chiedersi come mai, essendo la massa della Luna quasi 100 volte più piccola rispetto a quella della Terra, i valori di g differiscano invece solo di un fattore pari a 6. Il motivo risiede nella proporzione tra i raggi, che compaiono al denominatore nell’espressione che definisce la costante gravitazionale.

Combinando infatti il rapporto tra le masse di Terra e Luna (al numeratore) con quelli tra i quadrati dei loro raggi (al denominatore) si ritrova esattamente il fattore di proporzionalità pari a 6 che si riscontra tra i rispettivi valori di g. Intuitivamente, si può comprendere questa osservazione considerando il fatto che, sebbene la massa della Terra sia molto maggiore di quella della Luna, ed eserciti pertanto una maggiore attrazione gravitazionale su un corpo che risieda sulla propria superficie, il ridotto raggio lunare fa sì che un corpo che giaccia sulla Luna sia più vicino al centro effettivo in cui si concentra la massa lunare, e pertanto l’effetto dell’attrazione di quest’ultima ne risulta amplificato.

Silvia Pisano, fisico

ultimo aggiornamento dicembre 2015

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Ultima modifica: 28 maggio 2018

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