0241. Quali sono le analogie tra la formula di Eulero e la regola delle fasi di Gibbs?

Data l'evidente analogia tra la formula di Eulero che mette in relazione spigoli, facce e vertici di poliedri e la regola delle fasi di Gibbs, mi chiedevo se tale analogia fosse più di una somiglianza e se qualcuno avesse già cercato o trovato una relazione che colleghi le due. Sapete dirmi qualcosa al riguardo o consigliarmi dove potrei trovare informazioni su questo argomento (Alice Orsi) (2082)

E' nota la analogia tra la formula di Eulero (relazione tra spigoli, facce e vertici di poliedri 230]) e la regola termodinamica delle fasi di Gibbs . E' forse oggi nota una spiegazione (statistica o topologica, forse) del perché esiste una tale somiglianza? Le teorie più recenti ne hanno dato una spiegazione o dobbiamo pensare che sia solo fortuita? La spiegazione di tale analogia è stata trovata da David Ruelle in un lavoro molto tecnico nel 1977. L'idea di base è molto semplice. Esiste una funzione dello stato del sistema che si chiama energia libera (essenzialmente l'energia libera è l'energia interna meno l'entropia moltiplicata per la temperatura). In termodinamica lo stato all'equilibrio del sistema si ottiene minimizzando l'energia libera. Ruelle ha fatto vedere che se si assume che l'energia libera sia una funzione sufficientemente regolare, (il che è vero in moltissimi casi) la regola di Gibbs è una conseguenza della termodinamica. La difficoltà tecnica del lavoro di Ruelle è dovuta al fatto che Ruelle considera il caso in cui il numero di parametri che caratterizzano lo stato e il numero di parametri esterni sia infinito e questo rende tutte le dimostrazioni più difficili. Nel caso più semplice, con un numero finito di parametri, la dimostrazione diventa molto più facile ed è di tipo geometrico o topologico e credo che sia molto più antica, anche se non sono in grado di risalire alla fonte.

Giorgio Parisi - Fisico