0167. Come si calcola il raggio dell'orbita dell'elettrone?

Ho letto su un libro divulgativo che per trovare il valore del raggio dell’elettrone intorno al nucleo (o raggio di Bohr), si usa la seguente formula:

\[r=\frac{(h/2\pi)^2}{(me^2)n^2}\]

dove : h/2π è h tagliata di valore 1,055....

m = massa dell’elettrone di valore 9,11.....

e = carica dell’elettrone 8,199....

n = numero quantico che può essere 1,2,3,4,5,6,7 (per semplicità si può assumere il valore 1)

Il risultato di questa formula dovrebbe essere un raggio di 53 Angstrom. Ora io per curiosità ho provato a fare il calcolo, ma o commetto un errore matematico oppure i valori che uso non sono esatti, perché quel valore di 53 non mi viene......Mi potreste aiutare ?

(Antonella Capuano)

Innanzi tutto ci complimentiamo con la nostra web-nauta per aver voluto controllare il valore del calcolo, purtroppo la formula che ha trovato sul suo libro di divulgazione (ma quale?) non è corretta. Esiste un metodo per controllare le formule, anche le più complicate, senza entrare nel merito dei conti. Tale metodo si chiama "analisi dimensionale". In pratica si controllano solo le dimensioni (metri, secondi, grammi, etc...) delle variabili coinvolte. Facciamo un semplice esempio: volendo scrivere una formula per misurare la velocità di un’automobile ci aspettiamo che il risultato sia espresso in chilometri orari. Di conseguenza la formula “dovrà “ essere espressa come un rapporto di un lunghezza diviso per il tempo.

Per quanto riguarda la formula relativa al "raggio di Bohr", ci si aspetta, dimensionalmente, una lunghezza. La formula riporta dal nostro web-nauta non è dimensionalmente corretta. Manca quindi qualcosa. La formula esatta prevede infatti una costante dimensionale k0 che risolve il nostro problema.

\[r=\frac{(h/2\pi)^2}{(me^2)n^2}\]

dove: \(\hbar\) è la costante di Planck-tagliata = 1.055 × 10^-34 [Joule X secondi]

m: è la massa dell'elettrone = 9.109 × 10^-31 [chilogrammi]

k0: è la costante di Coulomb = 8.988 × 10⁹ [Joule X metri / Coulomb2], meglio conosciuta come   \(1/(4\pi \epsilon)\) e dove \(\epsilon \) è la costante dielettrica

e: è la carica dell'elettrone = 1.602× 10^-19 [Coulomb]

Dall'analisi dimensionale viene ora fuori che:

\[metri~=~\frac{Joule^2 ~\cdot ~secondi^2}{Chilogrammi ~\cdot ~\frac{Joule ~\cdot ~ metri}{Coulomb^2}\cdot ~ Coulomb^2}\]

considerando che, dimensionalmente,

\[Chilogrammi ~ = ~ \frac{Joule ~\cdot ~ secondi^2}{metri^2}\]

tutto torna come volevamo!

Come avrai notato le dimensioni che stiamo usando sono i metri.

I metri sono considerati, convenzionalmente, come la dimensione fondamentale nel Sistema metrico Internazionale per esprimere una lunghezza. E’ importante anche ricordare però che, storicamente, esistono dimensioni espresse in Angstrom (che tu menzioni nella tua domanda) che equivale a 10^-10 metri o il fermi che equivale a 10^-15 metri.

La costante dielettrica ? non è un oggetto misterioso, ma è collegato alla quantità di carica elettrica che un mezzo (incluso il vuoto) può contenere e compare nella famosa formula di Coulomb relativa all’attrazione elettrostatica tra due corpi carichi. Ma quanto è grande il raggio di Bohr? In altre parole, quanto dista l'elettrone più vicino dal suo nucleo ? Il raggio di Bohr è 0.529 × 10^-10 metri. In pratica è come se, prendendo la distanza di un metro, la dividessimo per altre dieci miliardi di volte! Consideriamo ora che il raggio di un nucleo è di qualche fermi , cioè 10^-15 metri (un metro va diviso in un miliardo di parti poi ogni parte ancora in un milione di parti!). L'elettrone è a circa 4 ordini di grandezza dal nucleo. Facciamo un esempio concreto: se il nucleo atomico avesse le dimensioni di un'arancia (raggio di 5 cm), l'elettrone più vicino si troverebbe a oltre 2 chilometri! La materia è proprio vuota!

La formula di Bohr costituisce uno dei primi tentativi di unione della fisica classica con la quantistica. Il problema che assillava Bohr era il perché l'elettrone non collassasse sul nucleo. L'idea fu di considerare un elettrone come un'onda (meccanica quantistica) e ipotizzare che nel descrivere l'intera circonferenza, l'elettrone dovesse tornare al punto di partenza. In pratica la circonferenza doveva essere un multiplo della lunghezza d'onda dell'elettrone. Proprio tale lunghezza d'onda era legata, dalla formula di de Broglie, all'energia della particella e alla costante di Planck . In maniera naive, l'elettrone, nell'orbita più vicina al nucleo, era al più basso livello di energia e non poteva andare più in basso perché nessuna lunghezza dell'orbita poteva essere compatibile con la lunghezza d'onda, quindi l'energia, dell'elettrone.

Per i più familiari con le formule si può cercare di ricavare l'equazione del raggio di Bohr.

Classicamente, un corpo di massa "m", con carica "e", in moto su una circonferenza di raggio "r", con velocità "v", sente una forza centripeta

\[f(r)=m\frac{v^2}{r}\]

al contrario, l'attrazione elettrostatica genererà una forza

\[F(r)=k_0 \frac{e^2}{r^2}\]

tali due forze devono compensarsi affinché il corpo non sfugga o non collassi, quindi f(r)=F(r). A questo punto interviene la formula di Planck che ci dice che

\[rmv=\hbar\]

Con un pò di semplice algebra si può scrivere

\[m\frac{v^2}{r}=k_0\frac{e^2}{r^2}\]

sostituendo

\[\frac{\hbar^2}{mr^3}=k_0\frac{e^2}{r^2}\]

e quindi si ottiene la formula del raggio di Bohr

\[r=\frac{\hbar^2}{k_0me^2}\]

Pasquale Di Nezza – Fisico