Ho letto che con una funzione trascendente di Eulero si può estendere il calcolo del fattoriale ai numeri complessi: potreste spiegarmi come accade? (Alessandro Roncari) (2244_5291

sem_esperto_rossoIl fattoriale icona_esperto[45] di un numero naturale icona_glossario si definisce mediante le formule:

0! = 1, 1! = 1, e per n ≥ 2, n! = n · (n-1) · …1

oppure mediante definizione ricorsiva:

0! = 1, n! = n · (n-1)! per n ≥ 1          (1).

Eulero icona_biografia, cercando di interpolare n! per valore di n non intero icona_glossario, cioè di definire il fattoriale di un qualsiasi numero reale icona_glossario positivo, introdusse la funzione:

ScienzaPerTutti_formula_gamma_eulerodetta funzione gamma.

Si può dimostrare facilmente che Γ(n + 1) = n! per ogni numero naturale icona_glossario n.

Per questo la si definisce:

ScienzaPerTutti_fattoriale_come_gamma_eulero(2)

Si dimostra che 0!=1 e x! = x • (x –1)! , quindi la (2) può venire considerata una estensione della (1). Per esempio, sapendo che dal calcolo diretto risulta:

ScienzaPerTutti_gamma_eulerosi può ottenere:

ScienzaPerTutti_valori_fattoriali_funzione_gamma_eulero

La formula (2) si può estendere ai numeri complessi icona_glossario ix. Anche in campo complesso valgono le formule 0!=1 e x! = x • (x –1)!

ScienzaPerTutti_grafico_fattoriali

Irene Guagnini – Docente di matematica