Il teorema di Wiles

Approfondimento estratto dal sito http://web.unife.it/progetti/geometria/Mat2000

Il grande enigma della matematica: la congettura di Fermat (ora teorema di Wiles)

Pilippe Ellia Fermat si dilettava a rileggere le opere complete di Diofante (150 d.Cristo circa) autore greco che si occupava di questioni del genere: "trovare due numeri tali che il quadrato di ciascun numero aumentato dalla somma dei due numeri sia un quadrato"; cioè trovare x, y tali che x² + x + y = n², e: y² + x +y = m² (Problema 22, secondo libro). Quando Fermat trovava un'affermazione interessante nelle opere di Diofante faceva un'annotazione nel margine del suo libro. Dopo la morte di Fermat, suo figlio ebbe la buona idea di pubblicare un'edizione delle opere di Diofante con le annotazioni del padre. Una terna (x, y, z) di numeri interi è pitagorica se x² + y² = z²; in virtù del teorema di Pitagora, x, y e z sono le lunghezze di un triangolo rettangolo. Per esempio (3, 4, 5) è una terna pitagorica. Esistono infinite terne pitagoriche e la formula che descrive tutte le possibili terne pitagoriche è nota sin dall'antichità. A proposito delle terne pitagoriche, Fermat scrisse nel margine della sua edizione delle opere di Diofante: "Più generalmente l'equazione xⁿ + yⁿ = zⁿ, n > 2, non ammette soluzioni intere con x.y.z non nullo [è chiaro che per esempio (1,0,1) è soluzione]. Ho scoperto una dimostrazione notevole di questo fatto ma purtroppo questo margine è troppo stretto per contenerla". Non l'avesse mai detto!!

La reputazione di Fermat era tale che questa affermazione fu presa con molta serietà, però (per colpa di quel margine troppo stretto!) mancava la dimostrazione, per cui molti matematici, tra l'altro alcuni fra i più celebri, cercarono di risolvere il problema (o la "congettura" di Fermat). Il caso n = 3 fu dimostrato da Eulero (1707-1783). Il caso n = 5 fu risolto, nel 1825, da Legendre e Lejeune-Dirichlet. Sophie Germain fece registrare progressi notevoli, ma era ancora ben lungi dal risolvere il caso generale. Il celebre matematico Kummer (1810-1893) fondò praticamente una nuova branca della matematica (teoria degli ideali e dei campi di numeri) nel tentativo di dimostrare il caso generale. In tempi più recenti (1983), Faltings dimostrò (come corollario del suo teorema sul problema di Mordell) che per ogni n > 3, l'equazione xⁿ + yⁿ = zⁿ aveva un numero finito di soluzioni (x, y, z) con x, y, z numeri interi. Comunque la congettura di Fermat resistette per tre secoli, finché nel 1993 il matematico inglese A. Wiles, seguendo un'idea di Frey, annunciò di averla dimostrata. Questo annuncio fece scalpore e fu organizzato un comitato di esperti per verificare la dimostrazione di Wiles. Uno di questi (N. Katz) trovò l'errore. Wiles, chiaramente, era disperato. Quando un matematico trova un errore in uno dei suoi lavori, la sua prima (e unica) reazione è di cercare di colmare il buco. Wiles lavorò intensamente per un anno, ideando una strategia alternativa, e con l'aiuto del suo allievo, Taylor, riuscì a completare i dettagli tecnici di questa nuova dimostrazione. Questa volta i "referees" non trovarono niente da ridire. I lavori di Wiles e Wiles-Taylor sono stati pubblicati nel 1995 nel volume 141 degli Annals of Mathematics, una delle riviste più prestigiose di matematica. La congettura di Fermat è dimostrata. (Tutto sommato, anche se con un certo ritardo, gli inglesi sono riusciti a risolvere tutti i problemi posti da Fermat).

Questo sembra ormai un fatto acquisito, tanto più che ulteriori lavori, di vari matematici, hanno esteso i risultati di Wiles, Wiles-Taylor, aldilà della congettura di Fermat. La dimostrazione della congettura di Fermat usa strumenti molto sofisticati della matematica moderna (curve ellittiche, forme modulari, teoria delle rappresentazioni di Galois, anelli di Gorenstein, ecc, ecc...Essa non ha alcuna applicazione pratica immediata. Però il lavoro svolto negli ultimi tre secoli per risolvere questo problema ha permesso lo sviluppo di intere branche della matematica i cui frutti si sono già visti e si vedranno, sempre di più, nei prossimi anni. Ed è per questo che la congettura di Fermat era un problema "centrale" della matematica: non importa tanto il risultato, ma piuttosto i metodi per arrivarci. Era chiaro da tempo che solo la creazione di metodi completamente nuovi avrebbe permesso di raggiungere la soluzione ed era anche chiaro che chi sarebbe riuscito a risolvere la congettura di Fermat, avrebbe risolto, con gli stessi strumenti, una miriade di altri problemi (ed è proprio successo così).