0223. Come si ricava la lunghezza di Planck?

Ho letto che la lunghezza di Planck è data dalla formula:

\[L_{Planck} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}\]

dove G è la costante di gravitazione universale, h è la costante di Planck, c è la velocità della luce. Ora io mi chiedevo come esce fuori questa formula ? Per esempio perchè c'è la radice quadrata e non la radice cubica ? Perchè quel c è elevato alla terza e non al quadrato oppure alla quarta ? (Antonella Capuano) (2081)

In fisica è importante capire cosa si intende per “grande” o per “piccolo”; è facilmente intuibile infatti come le dimensioni siano molto relative al campo che si sta investigando. Per tale motivo è estremamente importante capire il “concetto di scala”. Molti fenomeni fisici, infatti, si manifestano solo a determinate condizioni. Prendiamo ad esempio un atomo: riusciremmo a sondare il suo interno solo dal momento un cui la lunghezza d’onda della luce che usiamo come sonda [86] è confrontabile con le dimensioni dell’atomo stesso (~10^-10 metri cioè un decimo di miliardesimo di metro). Per lunghezza d’onda maggiori il mondo atomico ci apparirà completamente diverso. A seconda quindi della scala alla quale osserviamo l’atomo, osserveremo fenomeni e strutture diverse. Un altro esempio esplicativo è quello relativo al “raggio di Bohr” [167].

Tenendo a mente tale importante concetto, partiamo dalle dimensioni del mondo come appare ai nostri occhi e cerchiamo di scendere nel mondo microscopico. Arrivati a livello atomico ci rendiamo conto che la meccanica classica non funziona più, bisogna entrare nel mondo quantistico. A livello di orbite atomiche bisogna aggiungere i concetti relativistici ... e così via. Qual’è la scala più piccola che conosciamo? Con le attuali conoscenze di fisica, la scala più piccola che si possa immaginare è quella della lunghezza di Planck . Per dimensioni confrontabili con tale misura accadono molte cose nuove, ma in particolare la forza gravitazionale diventa quantistica . In pratica la struttura dello spazio-tempo cambia totalmente da quella del mondo quadri-dimensionale (3 dimensioni spaziali + 1 temporale ) nel quale viviamo quotidianamente. Alcune teorie descrivono che a tali dimensioni lo spazio-tempo si comporta come una sorta di schiuma, altre un mare spumeggiante di buchi neri, per altri un insieme di nodi o di onde. È chiaro che è molto difficile avere una descrizione naive dell’universo alla lunghezza di Planck, ma è altrettanto chiaro che a tale scala la meccanica quantistica , la gravità e la relatività sono in stretta simbiosi. Questo è anche chiaro dalla formula che la nostra web-nauta ha riportato dove compaiono simulatameamente h (costante di Planck: quantizzazione), c (velocità della luce nel vuoto: relatività) [27] [66] e G (costante gravitazionale di Newton: gravità) [102]:

\[L_{Planck} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}\]

Intuitiva è anche la posizione delle costanti nella formula: h è al numeratore perché ad un suo ipotetico aumento corrisponderebbe un aumento della quantizzazione dell’universo e quindi un aumento della lunghezza di Planck alla quale la gravità quantistica si manifesta. La stessa considerazione varrebbe all’aumentare di G. Al contrario, all’aumentare di c [66] l’universo diventerebbe meno relativistico e quindi la lunghezza di Planck sarebbe minore. Ma quanto è piccola L_Planck? È davvero infinitesima perchè vale 1.6x10^-35 metri (10^-35 metri corrisponde a 10 miliardesimi di miliardesimo di miliardesimo di miliardesimo di metro!). Questo spiega perché finora non si è mai rivelato un segnale diretto degli effetti quantistici della gravitazione ed è anche impossibile sondarli sperimentalmente. La nostra web-nauta ci chiede anche di entrare nel merito della formula e spiegare perché vi è una radice quadrata piuttosto che cubica o perché la velocità della luce compare al cubo e non con un’altra potenza. Cercheremo di essere quanto più generali possibile considerando però che una formula che racchiude gravità, quantizzazione e relatività prevede concetti di base non elementari. Bisogna definire due concetti propedeutici. Il primo è capire un’altra scala fondamenale in fisica: la “lunghezza d’onda Compton ” di una particella di massa m,

\[L_{Compton} = \frac{\hbar}{mc}\]

Tale grandezza definisce la dimensione alla quale la teoria quantistica relativistica diventa indispensabile nella descrizione dei fenomeni fisici. Il secondo concetto è che L_Planck è anche importante nella definizione della grandezza di un buco nero e più in particolare nella determinazione del suo raggio. Chiedendoci infatti qual è il raggio di un buco nero (raggio di Schwarzschild ) affinché esso sia uguale alla lunghezza d’onda Compton si scopre che tale buco nero ha proprio il raggio pari alla lunghezza di Planck.

Cosa significa tutto ciò? Le ripercussioni in fisica sono molteplici e di notevole importanza. Un esempio per tutti ci dice che, con l’aiuto del principio di indeterminazione di Heisenberg , non dobbiamo perdere tempo a localizzare un buco nero come il precedente, sarebbe tempo perso, infatti dovremmo fornire un’energia talmente elevata da poter creare un nuovo buco nero dove in effetti non esisteva.

Se siete arrivati a questo punto senza perdervi nei vari concetti forse un poco astrusi per i neofiti, allora ci siamo, possiamo calcolare L_Planck. Sappiamo che la forza gravitazionale di Newton , per due masse (m1 e m2) a distanza r, è:

\[F=\frac{G\cdot M_1 \cdot M_2}{R^2}\]

con un’energia potenziale

\[V=G\frac{m_1 m_2}{r}\]

Ci chiediamo quale è la minima velocità v (velocità di fuga) per la quale una particella di massa m1 possa sfuggire ad un campo gravitazionale di una massa m2. Questo accade quando la sua energia cinetica è proprio uguale all’energia potenziale:

\[\frac{1}{2}m_2 v^2 = G \frac{m_1 m_2}{r}\]

quindi chiamando semplicemente m1 come m, otteniamo

\[v=\sqrt{\frac{2Gm}{r}}\]

Per avere un buco nero, dove nulla può fuggire perché la velocità di fuga è maggiore o uguale alla velocità della luce, v deve essere almeno uguale a c, quindi:

\[c=\sqrt{\frac{2Gm}{r}} \rightarrow r=\frac{2Gm}{c^2}\]

La nostra ipotesi di partenza era che il raggio del buco nero fosse uguale alla lunghezza Compton, quindi, confrontando le due formule ora menzionate, si ha che

\[\frac{2Gm}{c^2}=\frac{\hbar}{mc} \rightarrow m^2 = \frac{\hbar c}{G}\]

Sostituendo l’espressione appena trovata per m (chiamata anche massa di Planck) nell’equazione per la determinazione della lunghezza d’onda Compton si arriva finalmente alla formula per la lunghezza d’onda di Planck:

\[L = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}\]

In conclusione non vi è nessuna ragione oscura per la quale si ha una radice quadrata o una potenza al cubo. Al contrario, come accennato in precedenza, è di grande importanza la posizione al numeratore di h e G e di c al denominatore.

Pasquale Di Nezza – Fisico