0376. Perché si afferma che se sulla Terra non ci fosse attrito, due corpi di massa diversa cadrebbero alla stessa velocità?

Una domanda/commento, quella del nostro web-nauta, che sembra risuonare delle parole che il Cardinal Bellarmino pronunciò in un contraddittorio con Galileo Galilei , il grande scienziato italiano che diede inizio alla scienza moderna. “Che due masse diverse, lasciate cadere dalla stessa altezza arrivino a terra nello stesso tempo,… io non ci credo.”

Galileo Galilei di fronte al Cardinal Bellarmino durante uno dei suoi processi.

Olio di Joseph Nicolas Robert-Fleury (1797-1890) al Museo de Luxembour Parigi

In realtà a tutti noi l’arrivo contemporaneo sul prato del Campo dei Miracoli di un sassetto e di un macigno lasciati cadere allo stesso momento dall’alto dalla torre di Pisa, sembrerebbe a prima vista una baggianata o meglio, una cosa contraria all’esperienza quotidiana di ognuno di noi. L’esperienza quotidiana sembra mostrarci infatti che, per mantenere un corpo in moto con velocità costante, sia necessario applicare una forza tanto maggiore quanto è maggiore la massa del corpo da spostare. Ne sanno qualcosa i nostri contadini, ed è anche quanto pensano i cavalli attaccati al giogo dell’aratro (se i cavalli possono pensare come gli animali di José Saramago ). In altre parole, l’esperienza ci sembra mostrare, che nella caduta la velocità che un corpo acquista sia inversamente proporzionale alla propria massa e direttamente proporzionale alla forza che gli si applica. Cosi riteneva Aristotele e cosi si credeva ancora nel 1500, ai tempi di Galileo. Lo stesso Galileo, se avesse avuto gli strumenti di precisione necessari, facendo cadere due gravi dalla Torre avrebbe sperimentato che masse più grandi acquistano velocità maggiori, dunque arrivano a terra prima.

La grande intuizione di Galileo fu quella di capire che, se abbandoniamo due corpi dall’alto della torre di Pisa, essi cadono soggetti non solo alla gravità ma anche all’attrito dell’aria. Quando siamo in presenza di un “mezzo’ attraversoil quale i corpi si muovono, per esempio l’aria dell’atmosfera , entrano infatti in gioco altre forze (rispetto alla gravità) che possono dipendere, sia dalla massa che dalla forma degli oggetti medesimi. Questo era evidente per Galileo dalla constatazione che lasciando cadere da una medesima altezza un pallino di piombo di 3 grammi ed un foglio di carta di eguale peso, è il foglio ad arrivare a terra molto dopo. Eppure la gravità esercita la stessa forza su entrambi, quello che è diverso è proprio l’attrito dell’aria. Questo attrito è una fortuna per chi ama sport estremi e per i venditori di paracadute. Fare deltaplano [280] non sarebbe possibile su un pianeta senza atmosfera come Plutone [267] ! Dunque i due corpi lanciati dalla Torre non sono soggetti solo alla forza di gravità ma anche all’opposizione dell’aria cioè all’ attrito. Cosa accadrebbe in mancanza di attrito da parte dell’aria? Cioè nel vuoto ? Questa era la domanda che Galileo si pose.

Prima di passare all’esperimento, proviamo a rifare il ragionamento logico, con cui Galileo nei suoi Dialoghi, contesta la credenza di Aristotele. Galileo utilizza un argomento che lo stesso Aristotele avrebbe già potuto utilizzare 2000 anni prima di lui e dimostra che sassolino e macigno devono arrivare contemporaneamente a terra, ”per la contraddizion che nol consente”. Immaginiamo di operare nel vuoto, cioè in assenza di attrito, in questo caso agirà sui corpi la sola forza di gravità che, ovviamente avrà la stessa forma funzionale di dipendenza dalla massa dei due corpi. Ammettiamo ora che l' affermazione seguente sia vera: “In assenza di attrito un corpo di massa piccola m, lasciato cadere insieme ad un corpo di massa grande M, dalla torre di Pisa, arriva a terra in un tempo T maggiore del tempo t impiegato da M”. Ora facciamo un esperimento ideale: uniamo m e M, incollandoli. Questo corpo avrà una mazza m+M , ovviamente maggiore sia di m che di M. Dunque dovrebbe arrivare a terra in un tempo ancora minore di quello impiegato da M. Ma, d’altra parte, il corpo di massa m unito a quello di massa M dovrebbe rallentarlo, visto che esso nell' affermazione che abbiamo fatta è meno veloce. Ci troviamo di fronte ad un paradosso dal quale si esce solo ammettendo che la proposizione, dalla quale siamo partiti, l’ipotesi iniziale, è falsa. Nel vuoto una piuma e un sacco di cemento lasciati cadere dalla torre devono quindi arrivare - afferma Galileo - sul Campo dei Miracoli, contemporaneamente. Galileo non poteva fare l’esperimento nel vuoto, non ne aveva le possibilità tecniche e confermò la sua ipotesi con gli esperimenti realizzati sul piano inclinato (quella della Torre è solo una leggenda).

In termini più “moderni” possiamo dire che la forza di gravità attribuisce la stessa accelerazione ad ogni corpo, indipendentemente dalla sua massa. Questo dipende dal fatto che la massa inerziale mi e massa gravitazionale mg di ogni oggetto sono uguali tra loro. Cosa sono la massa inerziale e la massa gravitazionale di un corpo?

Fu Newton (circa 100 anni dopo Galileo Galilei) ad introdurre i concetti di massa inerziale e massa gravitazionale . La massa inerziale esprime la opposizione di un corpo a cambiare il suo stato di moto sotto l' azione di una forza. E’ uno dei termini che compaiono nella famosa formula F=m·a che Newton mise a fondamento della meccanica classica . La massa gravitazionale mg è invece la “carica” gravitazionale cioè rappresenta la capacità di un corpo di attrarne un altro. La massa gravitazionale è quella che troviamo nell’altra famosa formula (sempre di Newton) F= (Gnm1gm2g)(1/r2) della forza di gravitazione. Il fatto che queste due masse siano proporzionali comporta che la velocità che ogni oggetto materiale lasciato cadere dalla torre acquisisce, non dipenda dalla sua massa (ma solo da quella della Terra), quindi due corpi di massa diversa arrivano a terra insieme. Galileo non conosceva la formula della forza gravitazionale e quindi non poteva estrapolare dal suo esperimento questa conseguenza. Tuttavia egli fu il primo a dimostrare, sia pure inconsapevolmente, che massa gravitazionale e la massa inerziale sono identiche. Isaac Newton riuscì a realizzare, utilizzando anche le esperienze di Torricelli, un ambiente “vuoto” (tubo di Newton) nel quale l’effetto dell’aria veniva ridotto di molti ordini di grandezza e confermò con grande precisione che, come scoperto da Galileo, i corpi cadevano con la stessa accelerazione. Nei tempi moderni questa uguaglianza è stata verificata con grandissima precisione da Loránd Eötvös negli anni 20 del secolo scorso.

Questa proprietà, che il moto di un corpo non dipende dalla sua massa, vale esclusivamente per la legge di gravitazione universale. Essa non è valida per nessuna altra delle forze. Per il campo elettromagnetico ad esempio il moto dipende dal rapporto tra massa e carica elettrica. Questa proprietà peculiare del campo gravitazionale prende il nome di principio di equivalenza [101] . Perché massa inerziale e gravitazionale sono uguali? Perché questo accade? Sulla base di questa proprietà, sulla base del principio di equivalenza Einstein ha basato la sua teoria della relatività generale e la sua rappresentazione della forza di gravità come di una curvatura dello spazio tempo. Un gruppo di fisici italiani ha proposto e sta preparando un esperimento da realizzare nello spazio per verificare con precisione di 1 parte su 10¹⁷ il principio di equivalenza .

Esperimento con le palle di cannone, per approfondire visita il sito .

Con la dimostrazione che, in assenza di attrito, la piuma e il masso, percorrono nella caduta spazi uguali in tempo uguale, Galileo Galilei pone una pietra miliare nella storia della scienza con una prima incursione sulla tematica del principio di equivalenza che verrà poi approfondito da Newton e posto da Einstein a base della relatività generale. Questo risultato, insieme ai suoi studi sul pendolo con i quali dimostrò che la Terra ruota su se stessa, alle sue osservazioni astronomiche della Luna e di Giove con i suoi satelliti, alla adozione della matematica come linguaggio di comunicazione della scienza, alla definizione del metodo scientifico, fa di Galileo il fondatore della scienza moderna. I corpi che la subiscono, ricevono un' accelerazione g (9.81 metri al secondo ogni secondo). g e’ una costante, e’ la stessa per tutti I corpi.

Ecco perchè piuma e masso, in assenza di attrito, percorrono nella caduta spazi uguali in tempo uguale.

Giampaolo Mannocchi – Fisico

 Un interesante video che riproduce l'esperimento di Galileo su grandi volumi e distanze in un modo che Galileo non avrebbe mai potuto realizzare per mancanza di tecnologia disponibile.

Link suggerito dal Webnauta di SxT Angelo Manca