0032. Come possiamo sapere se lo spazio è curvo?

 Negli spazi curvi la somma degli angoli di un triangolo non è di 180 gradi. Ma questa consapevolezza mi pare vera solo per osservatori esterni allo spazio curvo. Chi vivesse nello spazio curvo non percepirebbe diversamente le geometrie ? Cioè per un abitante di uno spazio curvo la somma degli angoli di un triangolo non apparirebbe comunque come la metà di un angolo giro? Forse faccio confusione ma mi piacerebbe avere una spiegazione chiara. Grazie e complimenti per il sito. (Lorenzo Landi)

Il grandissimo matematico e scienziato Karl Friedrich Gauss (1777-1855) scoprì che non è necessario considerare una sfera o un'altra superficie bidimensionale necessariamente immerse in uno spazio tridimesionale piatto per definire la sua geometria. E' sufficiente considerare misure fatte interamente su una superficie bidimensionale, come per esempio le misure che potrebbero essere fatte da una formica che viva per sempre su quella superficie, misurando distanze sulla superficie.

La formica saprebbe che la superficie è curva misurando che la somma degli angoli interni di un GRANDE triangolo sulla superficie differisce da 180 gradi, o misurando che il rapporto tra una grande circonferenza ed il suo raggio differisce da 2 pi greco, o misurando che per un GRANDE triangolo rettangolo non vale il teorema di Pitagora (gli archi del triangolo sono le linee localmente più brevi tra due punti, geodetiche). Per esempio considerando un triangolo che formi uno spicchio pari ad un ottavo dell'intera superficie della sfera, la formica misurando i tre angoli del triangolo localmente (mediante rapporto tra arco di circonferenza e suo raggio locale) e sommandoli troverà 270 gradi, oppure per questo triangolo, misurando la lunghezza dei lati troverà che non soddisfa il teorema di Pitagora.

Nel suo lavoro fondamentale "Disquisiziones generales circa superficies curvas" Gauss definì appunto la curvatura delle superfici bidimensionali, la curvatura Gaussiana, mediante le proprietà intrinseche di una superficie, senza necessario riferimento allo spazio circostante. Questa definizione di curvatura coincideva con quella ottenuta mediante lo spazio piatto contenente la superficie. Il grande matematico Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) generalizzò a più dimensioni la curvatura Gaussiana definita in due dimensioni. Questo aprì la strada al calcolo tensoriale sviluppato da un altro grande matematico italiano, Gregorio Ricci Curbastro (1853-1925), insieme ad altri noti matematici e quindi aprì la strada alla notissima teoria gravitazionale della relatività generale sviluppata da Albert Einstein (1879-1955), basata sul concetto di curvatura dinamica dello spaziotempo.

Ignazio Ciufolini - Fisico