0034. Sento parlare talvolta di frattali. Cosa sono? A cosa servono?

 Sento parlare talvolta di frattali. Cosa sono? A cosa servono? (Sergio Todeschi)

Cosa è un frattale e a cosa serve? Domanda da 100 milioni di dollari: non è escluso che sia una presa in giro. Per fortuna non è datata 1 aprile.

Cosa sono i frattali? La matematica tradizionale amava le forme semplici: le linee rette, i quadrati, i poligoni regolari il pentagono, l'esagono, l'ottagono; le circonferenze e le parabole, le sfere, i cubi, i cerchi, gli ellissi e via discorrendo. In natura invece le figure regolari sono delle pure eccezioni: dove in natura si trova un cubo, o una sfera perfetta? La natura si è sempre divertita a giocare con l'uomo. Gli alberi, le nubi, le felci, i cavolfiori, i fulmini e le saette, le montagne e le rocce, le coste dei Paesi e delle nazioni: tutto appare irregolare, spigoloso ... frattale. Nelle figure allegate propongo alcune foto di frattali naturali. Da un punto di vista formale non esiste una definizione onnicomprensiva di frattale. Una figura frattale (dal latino fractus) è una figura frastagliata, spezzettata, spigolosa. Benoit Mandelbrot ne dà una serie di definizioni: - nel 1978: una forma o una figura frammentata, spezzata, fortemente discontinua; - nel 1982: un insieme per il quale la dimensione secondo Hausdorff e Besicovitch eccede rigorosamente la dimensione topologica; - nel 1986: una forma fatta di parti che sono in qualche modo simili al tutto (1986). Nessuna è in grado di esaurire completamente tutti i casi possibili. Quella del 1982 è tecnica e rigorosamente matematica, riservata a coloro che masticano tanta matematica avanzata e pertanto va lasciata da parte: è comunque la sola che permette di definire "operativamente" un insieme, una forma, una curva, una superficie, un volume frattale. Tutti sanno tracciare dei ghirigori forsennati su un pezzo di carta; in natura ci sono moltissimi esempi di oggetti apparentemente di forma "complicata". La matematica e la geometria prima di Mandelbrot non era in grado di descrivere oggetti complessi. Ad esempio è facile calcolare un volume: base per altezze e variazioni sul tema; ma si provi a calcolare il volume "esatto" di un albero, o di un cespuglio o di una spugna, o del sistema dei bronchi di un polmone. Si cerchi di misurare la lunghezza delle coste della Norvegia con tutte le insenature, le penisole, le isole e isolette ed i fiordi! Il calcolo è sí facile ma complicato, complesso. La geometria frattale mostra che, almeno spesso se non sempre, è possibile costruire oggetti (che Mandelbrot chiama insiemi) complessi partendo da regole di costruzione molto semplici; altrettanto, la geometria frattale è in grado di fornire la lunghezza della costa della Norvegia, purchè si dica a priori quale è la lunghezza del righello con cui la si vuole misurare: la lunghezza delle coste della Norvegia "non ha un valore esatto" ma la si può misurare con un "righello" di lunghezza d=100 km, d=10 km, ecc.: le coste della Norvegia hanno una dimensione frattale D=1,52 ± 0,01. La geometria di Mandelbrot fornisce la formula che dice automaticamente quanto è lunga la costa quando misurata con d=100 km o con d=30 km e cosí via. Aristotile diceva che il punto ha dimensione zero, la linea ha dimensione 1, la superficie ha dimensione 2, il volume ha dimensione 3. Mandelbrot ha scoperto che linee spezzettate e contorte possono avere dimensione frattale D non intera più grande di 1, superfici complesse ed involute possono avere dimensione frattale D più grande di 2 e così via.

A cosa servono i frattali? A cosa serve la matematica? La geometria? A cosa servono le derivate? Gli integrali? Il calcolo differenziale? Servono a calcolare, a descrivere la natura ed i fenomeni: in poche parole a descrivere e simulare la natura. La geometria frattale espande la potenza della geometria classica inventata da Euclide attorno al 300 avanti Cristo, alle dimensioni non intere, introducendo una varietà enorme di applicazioni. La geometria frattale sa classificare le coste ed i confini degli Stati in funzione del loro grado di "frattura", di "spigolatura": dalle coste del Sudafrica, ai confini della Germania, alle coste dell'Inghilterra fino a quelle della Norvegia. Va detto che i frattali non si sarebbero imposti in modo cosí imperioso se non ci fossero i grandi calcolatori; infatti occorrono memorie molto ampie per poter fare le simulazioni più sofisticate ed interessanti.

La geometria frattale non sa prevedere "dove" può cadere un fulmine, ma può prevedere quanto è frastagliato. Può simulare le nubi e sa giustificare come un uragano non sia un evento eccezionale ma un evento la cui probabilità di avvenire rientra nelle regole del caso meteorologico. Mostra come lo stesso mitologico "Diluvio Universale" (effetto Noè) o il succedersi dei sette anni di vacche grasse e dei sette anni di vacche magre (effetto Giuseppe) siano eventi che rientrano della casualità della meteorologia. Alcuni arditi, giungono persino a previsioni "evoluzionistiche". Mostrano come, partendo da regole semplicissime, introducendo dei "geni matematici astratti" che possano semplicemente mutare a caso, con meno che 30 mutazioni si possono ottenere figure simili ad insetti o pipistrelli partendo da una struttura che è semplicemente una Y, mediante un processo di "copia e incolla": un insieme di 3 segmenti di misura diversa (inizialmente 2 rami uguali ad un certo angolo; poi permettendo lunghezze diverse, ovvero angoli diversi, ovvero che i segmenti che per caso vadano verso il basso o verso destra piuttosto che verso sinistra, possano essere più lunghi o più corti ..). E dobbiamo pensare che la specie umana ha avuto a disposizione qualche decina di miliardi di anni per subire mutazioni e non solo una trentina di opportunità. I frattali permettono di affrontare problemi di fronte ai quali la matematica tradizionale si doveva arrestare; permette di affrontare il problema di capire e descrivere l'architettura che governa la natura; come è distribuita geometricamente la materia planetaria nello spazio universale. Permette di intravedere nuove regole di semplicità unificante in una realtà dominata dalla complessità, senza tuttavia giungere al riduzionismo scientifico nel quale tutto è costituito da quark, leptoni e da mattoni elementari della materia. In ultima analisi, i frattali forniscono un nuovo strumento matematico (o geometrico) più potente di quelli disponibili prima della loro invenzione.

Sergio Ratti- Fisico

Per saperne di più:

Benoit Mandelbrot: Gli oggetti frattali: forma, caso e dimensione (Einaudi, Torino, 1987)

Benoit Mandelbrot; The fractal geometry of Nature (Freeman, New York, 1983);

John Briggs: L’Estetica del Caos, avventura nel mondo dei frattali: scienza, arte e natura (Red Edizioni, Como, 1993)

F. Hausdorff e A.S. Besicovich: Matematiche Annalen: vol. CX, pag. 321 (1935).