0069. Quanti 0 compongono il 100 fattoriale?

 Quanti zeri ha 100 fattoriale? (Vincenzo Zinni)

Anzitutto credo di aver capito che la domanda corretta è: “quanti zeri ha la rappresentazione decimale del numero 100!”; se così è, allora la risposta alla domanda sarà incompleta, in quanto non esiste, a priori un metodo sintetico che permetta di trovare il numero di zeri, per esempio di 100! Il calcolo diretto di 100! darebbe naturalmente la risposta. (Cosa che un banale programma di matematica può fare). Tra l'altro, 100! è un numero incredibilmente grande; infatti, per definizione, 100! è il prodotto di tutti i numeri naturali, zero escluso, minori o uguali a 100, ovvero 100!=100x99x98x.......x1

Basti pensare che, per esempio, 20!=2,43x10¹⁸. Questa notazione, detta scientifica, è comoda per dare un'idea dell'ordine di grandezza: 10¹⁸ è il numero 1 seguito da 18 zeri) Facendo uso della notazione scientifica è possibile dare una stima per difetto per quanto riguarda l'ordine di grandezza di 100!; infatti tra i divisori di 100!, che sono tutti i numeri naturali da 1 a 100, vi sono 10, 20, 30,..., 90, 100. Dunque, contando i 10, si ha che 100! è un multiplo intero del numero 9!x10¹¹

Questo dice che nella rappresentazione decimale di 100!, ci sono almeno 11 zeri finali. Questa è solo una stima, e gli zeri di 100! sono sicuramente di più: la maggiore difficoltà è contare a priori il numero di zeri "interni" al numero 100!, ovvero non quelli finali. Uno zero finale infatti significa che il numero è multiplo di 10, ma uno zero interno non ha lo stesso significato aritmetico. Per concludere, vorrei solo aggiungere che il quesito posto, al di là della curiosità, non ha un grande interesse matematico: in altre parole, a cosa serve sapere quanti zeri ci sono nella rappresentazione di 100!? Con poca potenza un computer può calcolare facilmente 100!

Luca Lussardi - Matematico

Nota redazionale SxT: SxT ha ottenuto, calcolandolo tramite un computer, per 100! Il numero 9.33262154 × 10¹⁵⁷

I nostri web-nauti ci correggono: Marco Berni uno degli esploratori dell’Isola dei Perché osserva che la nostra nota redazionale può indurre in errore i lettori. Il fattoriale di 100! è infatti, come indicato, 9.33262154 × 10¹⁵⁷ ma questo è un risultato approssimato essendo state troncate 157 cifre finali. Ciò può indurre a pensare che esse siano tutti zeri. Non è cosi , gli zeri finali sono “solamente” 24. Ci sono poi altri 6 zero in posizioni non finali. L’osservazione del nostro web-nauta quindi assolutamente corretta e gli siamo grati per questa segnalazione. A memoria (sic!) il valore completo è:

100!=9332621544394415268169923885626670049071596826438162146859296389521759999322991560 8941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

Il nostro lettore Mario di Bacco ci segnala il seguente espediente per predire (abbastanza) velocemente il numero di zeri finali di un fattoriale: "Occorre contare i multipli di 5 minori o uguali dell'argomento del fattoriale, tenendo presente che i multipli di 25 valgono doppio, i multipli di 125 valgono triplo etc.. Questo perché moltiplicando un multiplo di 5 (o di una sua potenza) per un multiplo di due (o una sua potenza) si ottiene 10 (o una sua potenza) e quindi si aggiunge uno zero in coda, o più zeri per le potenze superiori. Poiché mopltiplicare 5 * 2 è l'unico modo per aggiungere zeri in coda, questo trucchetto dovrebbe funzionare. In questo caso abbiamo 20 multipli di 5, ma 4 di loro sono anche multipli di 25, per cui in tutto 24 zeri. Se non erro, a questo punto 99! dovrebbe avere 22 zeri in coda e 105! dovrebbe averne 25."