0238. Che cos'è l'ellisse d'inerzia?

Cos'è in breve l'ellisse d'inerzia? (Rita) (2117)

L’ellisse d’inerzia racchiude alcune proprietà della “Geometria delle Masse”, un capitolo della meccanica razionale che si occupa di baricentri, di momenti statici, di momenti d’inerzia e delle relative applicazioni. Per comprendere il significato e le proprietà dell’ellisse d’inerzia occorre fare alcune premesse sulle grandezze geometriche citate.

Il baricentro di un sistema di masse [122] si ottiene pensando di applicare a tali masse, pensate come puntiformi, un sistema di forze parallele; queste forze ammettono una risultante che passa per un punto fisso (il baricentro) al variare della direzione secondo cui vengono a trovarsi le forze parallele, se le si fa ruotare intorno ai rispettivi punti di applicazione. Assegnata poi una generica retta r, e misurate le distanze y1, y2, … delle masse dalla retta r secondo la direzione y prefissata, si definisce momento statico del sistema di masse la somma dei prodotti delle masse per le rispettive distanze y. Infine, se rispetto alla stessa retta r, si calcola la somma dei prodotti delle masse per i quadrati delle distanze, si ottiene il momento d’inerzia del sistema di masse rispetto alla retta r.

Se ora si considera il baricentro del sistema di masse, si fa passare la retta r per tale punto, e la si fa ruotare in modo arbitrario, si ottiene per ogni posizione della retta il rispettivo momento d’inerzia. Dividendo ciascun momento d’inerzia così ottenuto per la massa totale ed estraendone la radice quadrata si ricava il raggio d’inerzia o giratore associato a ciascun momento d’inerzia.

Pensando di disegnare, a partire dal baricentro, tutti i raggi giratori corrispondenti a ciascun momento di inerzia, si ottiene appunto una figura geometrica coincidente con l’ellisse d’inerzia, nei sistemi piani, e con l’ellissoide d’inerzia in quelli spaziali. I raggi giratori minimi e massimi sono perpendicolari alle rette cui corrispondono i valori minimi e massimi dei momenti d’inerzia.

E’ poi da precisare che il sistema di masse può essere un sistema puntiforme oppure continuo; in questo secondo caso, i concetti precedenti si intendono applicati a figure piane o a corpi solidi comunque dotati di densità di massa, cioè di massa per unità di superficie o di volume. Sia nel primo che nel secondo caso, se le masse o le loro densità sono unitarie, rimangono le distribuzioni di superficie o di volume a caratterizzare topologicamente i sistemi considerati, In altri termini, due superfici equivalenti, di forma triangolare o circolare, sottendono proprietà distinte in termini di geometria delle masse, nel senso che sono diverse le rispettive ellissi d’inerzia.

Un settore di applicazione di notevole importanza dei concetti esposti è la Scienza delle Costruzioni. Se, ad esempio, si considera una trave di acciaio avente sezione ad I, incastrata tra due opposte pareti murarie, la disposizione secondo la quale viene posta in opera (cioè l’assetto della trave nello spazio) è determinata dalla possibilità di opporre il massimo momento di inerzia (asse maggiore dell’ellisse d’inerzia in posizione verticale) alla tendenza all’inflessione della trave, sotto il peso proprio e dei carichi portati, in modo da ottenere una deflessione (o freccia) in mezzeria compatibile con la destinazione d’uso della trave: tale freccia si dimostra infatti essere inversamente proporzionale al momento d’inerzia, il cui valore conviene quindi massimizzare. Così operando, si raggiungono tensioni normali ai bordi superiore e inferiore della sezione di mezzeria compatibili con le resistenze a trazione e a compressione dal materiale impiegato; tali tensioni sono ancora inversamente proporzionali al momento d’inerzia. Le tensioni tangenziali, massime ai bordi vincolati della trave, sono poi proporzionali al momento statico della sezione e anch’esse devono essere compatibili con la resistenza tagliante offerta dal materiale. E’ quindi evidente, nel contesto teorico della meccanica razionale e della scienza delle costruzioni, l’esistenza di una connessione fra sistema di masse, in particolare la loro distribuzione piana o spaziale ed ellisse o ellissoide d’inerzia associati. A questo fa da contrappunto l’atteggiamento della fisica, essenzialmente fondato sulla sperimentazione e non sulla modellistica matematica, posta a base delle due precedenti discipline. In fisica, la massa si presenta come una delle quattro grandezze fondamentali indipendenti, insieme alla lunghezza, al tempo e alla carica che il fisico interpreta come grandezze misurabili per via sperimentale. La massa si può definire da un punto di vista operativo impiegando il principio della bilancia a braccia uguali: questa rimane in equilibrio se due corpi posti sui due piatti della bilancia hanno la stessa massa, a prescindere dal luogo in cui viene effettuato l’esperimento. Se una delle due masse è composta da unità campione, la seconda si può ottenere come multiplo della massa campione. Così facendo si ottiene la massa “gravitazionale” . Se invece si utilizzano, per via dinamica, la legge d’inerzia, la quantità di moto e il principio di conservazione della quantità di moto, si perviene ad una ridefinizione della massa che è detta appunto “inerziale”.

Considerando infatti la quantità di moto di una particella, definita come prodotto della sua massa per la sua velocità, nell’ipotesi che la massa sia costante, si può esprimere la variazione della quantità di moto della particella in un dato intervallo di tempo, come prodotto della massa per la variazione della velocità. Nel caso in cui si consideri un sistema di particelle e, in particolare, se queste sono solo due, la somma delle due quantità di moto in un sistema isolato è costante, per cui la variazione dell’una è uguale e opposta alla variazione dell’altra. Se ne deduce che se la massa della prima particella è assunta come massa di riferimento, la seconda si può ottenere dalla prima calcolando il rapporto delle due variazioni di velocità e moltiplicandolo per la prima massa cambiata di segno; tale quantità è definita massa inerziale ed è noto dalla fisica che i due metodi di definizione della massa testè citati conducono a risultati uguali. Si nota quindi come la parola “inerzia” utilizzata nella definizione dell’ellisse sia da distinguere dall’aggettivazione “inerziale” impiegata nella definizione della massa, trattandosi di linee di ragionamento del tutto distinte, riferite peraltro a discipline fondate su presupposti di tipo essenzialmente matematico nel primo caso (la meccanica razionale e la scienza delle costruzioni) e di tipo sperimentale nel secondo (la fisica).

Esiste tuttavia un’area di conciliazione fra i due atteggiamenti, nel senso che la modellistica matematica offerta dalla Scienza delle Costruzioni trova applicazione nei corpi reali, sui quali sono perseguibili sperimentazioni di laboratorio; per cui, nella fattispecie, le proprietà intrinseche dell’ellisse “d’inerzia” delle sezioni delle travi si applicano a sistemi continui di masse, siano esse “gravitazionali” o “inerziali”, rappresentate ad esempio dalle travi stesse. Ciò permette di progettare e costruire su basi razionali e con adeguati margini di sicurezza tutti i manufatti di cui abbiamo necessità, dagli edifici, agli aeromobili, alle protesi biomeccaniche, ecc., confortati dalla certezza della riproducibilità sperimentale dei fenomeni meccanici previsti in sede di speculazione teorica. Un esempio molto efficace in questo senso è costituito dal caso della trave caricata di punta. Se prendiamo una trave di acciaio di sezione ad I, lunga e stretta, o come si suol dire “snella” e la mettiamo in posizione verticale, incernierandola alle due basi terminali in modo che non possa spostarsi e caricandola lungo l’asse con un forza di intensità crescente, la trave per un determinato valore della forza sbanda lateralmente, inflettendosi nel piano in cui è minimo il momento d’inerzia della sua sezione (ovvero il rispettivo raggio giratore dell’ellisse d’inerzia della sezione trasversale). L’esperienza di laboratorio appena descritta, rispecchia quanto previsto per via teorica da Eulero nella trattazione della trave caricata di punta e costituisce una base di lavoro indispensabile per progettare travi snelle soggette a carico assiale. In questo caso la distribuzione della massa (inerziale) della trave si accompagna a valori determinati dei momenti d’inerzia della sezione trasversale e quindi ad una ben precisa ellisse d’inerzia della sezione. Il momento di inerzia minimo risulta essere collegato in modo direttamente proporzionale al valore del carico critico euleriano, di importanza fondamentale nella progettazioni di travi così caricate e sottende la connessione (o relazione) fra i punti di vista teorico e sperimentale, impliciti nella domanda della lettrice.

Carmelo Majorana - Fisico