0270. Come viene fuori l'1/2 dalla formula dell'energia cinetica?

L’energia cinetica è data dalla formula Ec = 1/2 m v². Vorrei capire in questa formula come viene fuori quel..1/2 . ( Luca ) (2153)

La variazione di energia di un corpo è il lavoro compiuto dalla risultante delle forze che agisce su di esso in un intervallo di tempo. Se il lavoro è eseguito durante un processo chimico si chiama energia chimica, se è legato al movimento, energia meccanica; in particolare: si definisce energia cinetica di un corpo di massa m e velocità v, il lavoro che esso compie sull’ambiente esterno quando si arresta,

essa si esprime con la formula che si ricava dalla stessa definizione.

Consideriamo un corpo di massa m [101] in movimento con velocità v su un piano orizzontale privo d'attrito . Se nell’istante iniziale t0=0 sul corpo comincia ad agire una forza frenante  parallela alla direzione di moto, per il 3°principio della dinamica il corpo stesso reagirà con una forza di uguale intensità e verso opposto. Si può assumere detta forza inizialmente costante. In queste condizioni l’oggetto dall’istante t0 si muoverà di moto ritardato con un'accelerazione anch’essa costante e diretta nel verso opposto a quello scelto come orientazione positiva sull’asse di riferimento. E’ pertanto possibile, nel tratto , applicare le leggi del moto uniformemente accelerato della cinematica:

che, con le premesse assunte nell’esempio, diventano:

Dalla prima delle due relazioni si ottiene t = dove t è il tempo necessario affinché la velocità passi dal valore v a 0. Sostituendo t nella seconda equazione si ottiene

Essendo costante il lavoro si calcola eseguendo il prodotto scalare della forza per lo spostamento:

quindi con le opportune semplificazioni

La semplificazione adottata in realtà permette di calcolare l’energia cinetica quando le grandezze fisiche in questione sono finite ma se la forza non fosse costante nel tempo t necessario al corpo per fermarsi si potrebbe suddividere l’intervallo di osservazione in n intervalli di tempo talmente piccoli da poter considerare la forza costante (nei limiti degli errori sperimentali che si commettono nelle misurazioni) e quindi utilizzando lo stesso procedimento determinare il lavoro

dove l’indice i indica i-esimo intervallo in cui si effettuano le misure di accelerazione di variazione di velocità e di spazio percorso . Il lavoro totale è ottenuto dalla somma di tutti i contributi dei prodotti quindi:

In conclusione il valore che compare nella formula dell’energia cinetica è conseguenza della legge del moto della cinematica:

Annarita Lorenzo – Docente di Fisica