0045. Perché il fattoriale di 0 è uguale a 1 (0!=1)?

Perchè il fattoriale di zero è uguale a 1 ? . 0! = 1. Grazie (Luciano Pettinelli)

Il fattoriale di un numero n, indicato dalla scrittura n!, (si legge “n-fattoriale”o “fattoriale di n”) è il valore numerico ottenuto dalla relazione 1x2x3….x(n-2)x(n-1)xn cioè il prodotto di tutti i numeri da 1 al numero n.

Ad esempio 3! ( fattoriale di 3) è 6 poiché 1x2x3=6. E evidente che n!= n(n-1)! ( formula di ricorrenza).

Il fattoriale del numero n indica il numero delle possibili permutazioni di un insieme contenente n elementi non ripetuti. Si prenda come esempio le permutazioni relative ad un insieme costituito dalle tre lettere ABC (o dai tre numeri naturali 1 , 2, 3 ) . Esse sono:

ABC      ACB      BAC     BCA     CAB     CBA

123       132       213      231      312     321

cioè 6 ( il fattoriale di 3 è appunto 6).

Si dimostra che per ogni numero n il suo fattoriale corrisponde alle permutazioni possibili senza ripetizione di n oggetti. Perché 0!=1 ? Possiamo “dimostrarlo” in due modi.

-Deve essere sempre valida la legge di ricorrenza quindi : 1!=1x0! , ma 1!=1 dunque 0!=1.

-Un insieme costituito da zero elementi ha una, e una sola, permutazione possibile dunque 0!=1

Una nota curiosa da sottolineare è nell’uso del punto esclamativo per indicare (*) questo operatore, si pensa sia dovuto alla meraviglia con cui cresce il fattoriale n! all’aumentare di n.

Ad esempio 21! è pari a 5.1091*10¹⁹ (ricordiamo che 10¹⁹ è il modo compatto per scrivere 10 seguito da 19 zeri, che corrisponde a 10 miliardi di miliardi): questo fattoriale è importante perché indica il numero delle permutazioni possibili nell’alfabeto italiano.

Emanuele Basile - Ingegnere

Nota redazione SxT (*) Il simbolo ! ad indicare la sequenza 1x2x3…x(n-1)xn è stato introdotto nel 1808 dal matematico tedesco Christian Kramp .