La Teoria della Relatività Ristretta

Introduzione 

Quando si parla di Teoria della Relatività occorre innanzitutto specificare che esistono due Teorie della Relatività”: la “Teoria della Relatività Ristretta” e la “Teoria della Relatività Generale”.

La seconda delle due fu formulata da Einstein nel 1915, dieci anni dopo la Relatività Ristretta, ed è sostanzialmente una descrizione della natura del campo gravitazionale in termini di proprietà dello spazio e del tempo. Essa rappresenta appieno il genio di Einstein, e probabilmente senza di lui avremmo dovuto aspettare del tempo prima di arrivare a una sua formulazione.

Noi parleremo invece della Teoria della Relatività Ristretta, che è antecedente, e vede la sua formulazione a partire dal celebre articolo pubblicato nel 1905 da Einstein sulla rivista scientifica tedesca Annalen der Physik, con un titolo apparentemente anonimo, per qualcosa che avrebbe scosso il mondo della fisica nelle fondamenta: “L’elettrodinamica dei corpi in movimento”. 

Bisogna dire che, contrariamente alla Teoria della Relatività Generale, la Teoria della Relatività Ristretta era comunque già nell'aria nei primi anni del 900, perché tutti gli ingredienti erano già posti sul tavolo, ed Einstein ebbe il merito di tirare le fila di una serie di osservazioni già note, ma di cui nessuno aveva ancora compreso il vero impatto dal punto di vista fisico. Al contrario, per avere la Relatività Generale, senza Einstein probabilmente avremmo dovuto aspettare ancora parecchio.  Noi qui ci occuperemo 
soltanto della Relatività Ristretta: allacciamo quindi le cinture, e partiamo! 

I Sistemi di Riferimento inerziali e il Principio di Relatività 

Se dovessimo definire la Teoria della Relatività Ristretta in poche parole, potremmo dire che essa è l’insieme delle conseguenze dell'estensione del Principio di Relatività a tutti i fenomeni fisici, sia meccanici che elettromagnetici. Il Principio di Relatività afferma infatti che: “le leggi della fisica sono le stesse, nella loro formulazione matematica (e quindi anche nel modo in cui si manifestano), in qualunque sistema di riferimento inerziale”. I sistemi di riferimento inerziali sono quella categoria di sistemi di coordinate in cui vale rigorosamente il primo principio della dinamica, o principio di inerzia. Questo significa che in un sistema inerziale un corpo in quiete rimane in quiete e un corpo in moto rettilineo uniforme mantiene il suo stato di moto rettilineo e uniforme, se su di esso non interviene una forza ad alterarne il suo stato. I sistemi di riferimento inerziali sono in pratica tutti i sistemi di riferimento non sottoposti ad accelerazioni. Tutte le stranezze che riguardano la Relatività Ristretta e che colpiscono l’immaginario di tanti - i gemelli che invecchiano diversamente, le lunghezze che si accorciano, la misura del tempo che varia con la velocità, la massa che equivale all’energia e viceversa - sono le inevitabili conseguenze del richiedere che il Principio di Relatività sia valido in qualunque sistema di riferimento inerziale, affermazione che, di per sé, sembrerebbe del tutto priva di conseguenze rilevanti. Cerchiamo quindi di capire come mai un’affermazione apparentemente solo concettuale (le leggi della fisica appaiono le stesse in qualunque sistema di riferimento inerziale) possa obbligarci a dover considerare una serie di fenomeni strani e controintuitivi per il senso comune come il tempo che scorre diversamente per osservatori diversi, le lunghezze che si accorciano, fino addirittura alla celebre E=mc². 

Il principio di relatività formulato poco sopra è qualcosa che è sperimentalmente noto a tutti, anche senza sapere nulla di fisica. Infatti una complessa macchina come il corpo umano, tanto per fare l'esempio di qualcosa che ci portiamo sempre dietro, è un mix di meccanica, elettromagnetismo, e fisica nucleare (ebbene sì, dentro di noi ci sono isotopi radioattivi che decadono naturalmente a nostra insaputa, uno fra tutti il Potassio, che emette perfino positroni, ovvero particelle di antimateria) che si basa su leggi fisiche che sono sempre le stesse, sia che siamo seduti sul divano, o su un aereo in volo, in automobile o in una astronave diretta verso Plutone a 100000 km/h (il giorno in cui ci andremo). Infatti, se non siamo sottoposti ad accelerazioni, ovvero variazioni di velocità, le leggi della fisica sono talmente sempre le stesse che non abbiamo alcun modo per dire se ci stiamo muovendo o siamo fermi. Qualunque tipo di esperimento possiamo immaginare, utilizzando qualunque congegno o qualunque legge fisica, non sarà mai in grado di dirci chi, fra due osservatori di due sistemi di riferimento inerziali in moto relativo uno rispetto all'altro, si stia realmente muovendo, e chi invece stia realmente fermo, tanto da rendere questa domanda del tutto priva di significato. Infatti le leggi fisiche, tutte le leggi fisiche, risulterebbero identiche per entrambi gli osservatori, che quindi non avrebbero strumenti per dirsi in moto o fermi. Questo ovviamente vale per qualunque osservatore solidale con un qualunque sistema di riferimento inerziale, indipendentemente dalla sua velocità relativa agli altri sistemi di riferimento.

Avete presente quando siamo seduti sul treno in stazione, e con la coda dell'occhio vediamo il treno nel binario accanto muoversi, e per un istante, finché non percepiamo qualche scuotimento (un'accelerazione!) non sappiamo dire se è il nostro treno a muoversi, o quello accanto? Ecco, in quel momento stiamo sperimentando il Principio di Relatività in piena azione! In quel momento non abbiamo alcun modo per dire se siamo noi a muoverci, o il treno accanto a noi. Niente ci viene in aiuto, se non aggrapparci a una convenzione, ovvero che la pensilina è normalmente considerata essere ferma, mentre è il treno a muoversi. È solo in presenza di accelerazioni che possiamo dare una risposta, ovvero quando il nostro sistema di riferimento smette di essere un sistema di riferimento inerziale e ci fa percepire una forza che ci spinge sul 
sedile o ci sballotta qua e là.  

Il Principio di Relatività implica ovviamente anche che la formulazione matematica che descrive i vari fenomeni fisici debba essere le stessa in qualunque sistema di riferimento inerziale. Se questo non fosse vero, ogni sistema di riferimento inerziale dovrebbe avere il suo specifico libro di fisica!

Questa cosa l'aveva già notata Galileo Galilei, e riportata in un celebre passo del suo “Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo”:

“Rinserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti: siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vada versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca che sia posto a basso; e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza. [..] 

Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia mentre il vascello sta fermo non debbano succedere così: fate muovere la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur di moto uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti; né da alcuno di quelli potrete comprendere se la nave cammina, o pure sta ferma“. 

I sistemi di riferimento inerziali sono quindi tutti perfettamente equivalenti, e la fisica non è in grado di distinguerli. Da questo ne consegue anche che considerare un sistema inerziale fermo o in moto è solo una questione di convenzione.

Le Trasformazioni di Galileo 

Dal punto di vista matematico, l'invarianza delle leggi fisiche nel passare da un sistema inerziale a un altro (ovvero il modo in cui un osservatore in un sistema inerziale vede le leggi fisiche in un altro sistema inerziale) è garantita dalle trasformazioni matematiche che mettono in relazione le coordinate spaziali e temporali dei due sistemi di riferimento inerziali in moto (rettilineo e uniforme) relativo fra loro. Esse prendono il nome di Trasformazioni di Galileo. Se prendiamo l’espressione matematica che descrive un fenomeno fisico, e applichiamo la trasformazione di Galileo alle coordinate spaziali e temporali per sapere come quella legge apparirà vista da un altro sistema inerziale in moto relativo rispetto al nostro, il risultato sarà identico: gli osservatori in entrambi i sistemi di riferimento troveranno la stessa legge fisica. Ad esempio, la seconda legge di Newton, la famosa F=ma, non cambia di espressione se usiamo le trasformazioni di Galileo per esprimerla in un altro sistema di rifermento inerziale in moto rispetto al nostro. 

Sottolineiamo un punto che potrebbe apparire banale e ovvio, ma vedremo in seguito che in realtà non lo è: nelle Trasformazioni di Galileo il tempo è lo stesso per entrambi gli osservatori inerziali. Il tempo, nella fisica prima di Einstein, è un orologio che batte il clock per tutti gli osservatori in modo universale. 

Legge della somma delle velocità 

Una conseguenza ovvia delle trasformazioni di Galileo è che se siamo su un sistema di riferimento che si muove con velocità costante v rispetto ad un altro (ad esempio un tapis roulant di quelli che ci sono negli aeroporti per passare da un terminal all’altro), e in aggiunta camminiamo sul tapis roulant con velocità u rispetto al tapis roulant perché abbiamo fretta, a quel punto un osservatore che è fermo sul pavimento, fuori dal tapis roulant, ci vedrà muovere con velocità v + u, ovvero la somma della velocità del tapis roulant e della nostra velocità rispetto al tapis roulant. 

E analogamente noi, dal tapis roulant, lo vedremo allontanarsi rispetto alla nostra posizione con la stessa velocità in direzione opposta. E se sul tapis roulant che procede nella direzione opposta alla nostra ci fosse un passeggero che si muove lungo il suo tapis roulant in direzione opposta alla nostra, lo vedremmo sfrecciare velocissimo, come mai potrebbe camminare un essere umano (ai fisici questa cosa piace molto!). 

E ancora: quando sorpassiamo una macchina che va a 120 km/h in autostrada, e mentre la sorpassiamo e ci passiamo accanto stiamo viaggiando a 130 km/h (i fisici rispettano sempre il codice della strada!), quell’auto la vedremo di fatto retrocedere rispetto a noi con una velocità di -10 Km/h. Tutti ciò si riassume con la legge di composizione delle velocità: fra due sistemi di riferimento inerziali le velocità si sommano o sottraggono vettorialmente a seconda del moto relativo dei due sistemi di riferimento.

Tutto questo è una conseguenza delle Trasformazioni di Galileo, che mettono in relazione le coordinate spaziali e temporali di due sistemi di riferimento in moto rettilineo e uniforme, e il risultato ci appare molto normale e ovvio. 

Si scopre l’elettromagnetismo: “Huston abbiamo un problema”!  

Però c’è un problema: ai tempi di Galilei, e Newton in seguito, le leggi fisiche note, per le quali esisteva anche una formulazione matematica, erano quelle della meccanica: molle, piani inclinati, catapulte, pendoli, etc. Nel corso del diciannovesimo secolo si scopre però una nuova categoria di fenomeni: i fenomeni elettromagnetici, e con essi la propagazione della luce, che ne è una diretta conseguenza. E qui... “Huston, abbiamo un problema!”. I fenomeni elettromagnetici vengono infatti riassunti in quattro equazioni, che prendono il nome di Equazioni di Maxwell, le quali descrivono il comportamento dei campi elettrici e magnetici, unificando l'elettricità e il magnetismo nel concetto di campo elettromagnetico. Esse mostrano che il campo elettrico ha come sorgente la carica elettrica, e che non esiste l’analogo per il campo magnetico (la singola “carica” magnetica, detta anche monopolo magnetico, non esiste). Il campo magnetico, nelle equazioni di Maxwell, ha infatti origine dalle cariche elettriche in movimento (la corrente elettrica). Infine, un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico a sua volta variabile nel tempo, e un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico variabile nel tempo: quello che chiamiamo “onda elettromagnetica”. Le equazioni di Maxwell inglobano quindi al loro interno tutti i fenomeni elettromagnetici, dall'elettrostatica all'induzione magnetica, fino all’esistenza delle onde elettromagnetiche: la luce! 

E dove sta il problema? Il problema è che queste equazioni, che vorrebbero essere equazioni fondamentali della fisica, anzi, che sono equazioni fondamentali della fisica, contengono al loro interno un termine che ha le dimensioni di uno spazio diviso un tempo: una velocità. È la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche: la velocità della luce. 

E perché questo è un problema?  

Lo è perché una velocità è quanto di più relativo al sistema di riferimento ci possa essere! Una velocità, lo sappiamo dalle trasformazioni di Galileo e dall'esperienza di tutti i giorni (ricordate l'esempio dell'autostrada o del tapis roulant?) dipende fortemente dal sistema di riferimento da cui la misuriamo! Una velocità è una quantità che inevitabilmente varia passando da un sistema di riferimento a un altro. E quindi come possiamo pretendere che le equazioni di Maxwell, che al loro interno contengono una velocità, non cambino passando da un sistema di riferimento a un altro? Che universalità potrebbero avere delle equazioni che cambiano di espressione passando dal divano all'automobile, dall'autobus all'aeroplano, per non dire da dicembre a giugno, quando la terra si muove in direzioni opposte rispetto al sole? Come potrebbero 
quindi le equazioni di Maxwell rispettare il Principio di Relatività, che implicherebbe che esse restino invariate in qualunque sistema di riferimento inerziale, se al loro interno c'è un termine che rappresenta una velocità? 

A questo punto avremmo quindi la situazione paradossale che il Principio di Relatività (che – ricordiamo - afferma che le leggi fisiche sono le stesse, e quindi hanno la stessa espressione matematica, in qualunque sistema di riferimento inerziale) sarebbe valido per i fenomeni meccanici (molle, treni, pendoli, etc) ma non per i fenomeni elettromagnetici, a causa di quella velocità che si è messa di mezzo, e che eventualmente sarebbe la velocità rispetto a un particolare sistema di riferimento ultra privilegiato nel quale le equazioni di Maxwell hanno quella particolare espressione matematica. Una situazione veramente paradossale! No, non può essere così.

Gli esperimenti di Michelson e Morley  

All’epoca (siamo verso la fine del diciannovesimo secolo) i fisici dissero sostanzialmente: "Pazienza! Vorrà dire che le equazioni di Maxwell valgono soltanto in un particolare sistema di riferimento, quello in cui la velocità della luce ha quel valore particolare, e cambiando sistema di riferimento, e scegliendone un altro in moto relativo rispetto ad esso, la velocità della luce sarà un po' maggiore o un po' minore".

Come, d'altra parte, succede per tutte le velocità! 

Fu quindi immaginato che lo spazio fosse permeato di una sostanza, detta “etere”, che costituiva il supporto per la propagazione delle onde elettromagnetiche, così come l’aria, o l’acqua, o altri mezzi fungono da supporto alla propagazione delle onde sonore.

L’etere era quindi il mezzo attraverso cui la luce si propagava nel vuoto. Esso doveva però essere: 

• Rigido, per sostenere la propagazione di un'onda elettromagnetica che viaggia a velocità estremamente elevata.
• Essere presente ovunque: essendo il supporto per la propagazione della luce doveva riempire uniformemente tutto l'universo,
• Immobile: per permettere misure precise della velocità della luce. 
• Elastico, impalpabile e trasparente: doveva essere presente ovunque, ma senza opporre resistenza al movimento dei pianeti, e allo stesso tempo sufficientemente rigido da garantire una velocità così elevata come quella che era stata misurata per la luce.

Tutto ciò era già di per sé estremamente contraddittorio. Ad esempio, per propagare la luce a velocità così elevate doveva essere un mezzo rigido, ma per non influenzare i moti dei pianeti non doveva opporre resistenza. 
D’altra parte, ogni onda necessita di un mezzo che ne permetta la propagazione. Pertanto, si fecero esperimenti per cercare di misurare la velocità della luce rispetto all’etere al variare della direzione del moto della Terra (i famosi esperimenti di Michelson e Morley), ma l'effetto cercato non fu trovato. In pratica la luce sembrava infischiarsene alla grande della legge della composizione delle velocità, quella che funziona così bene per gli automobilisti in autostrada e per tutte le altre velocità conosciute: il risultato sperimentale era in pratica che se corro dietro a un raggio di luce, anche se sono su una Ferrari, la luce la vedo viaggiare sempre alla stessa velocità. Contrariamente a ciò che accade con tutte le velocità a cui siamo abituati, scappare da un raggio di luce o corrergli incontro non modifica la sua velocità misurata, che ha sempre lo stesso valore, che oggi viene comunemente indicato con c (dal latino celeritas). Il suo valore più accurato, ad oggi è 299 792 458 m/s. Non c'è incertezza sul valore della velocità della luce nel vuoto, perché il suo valore è stato fissato per definizione. Il metro viene invece definito di conseguenza, come la distanza che la luce percorre in un secondo diviso 299 792 458 m/s. 

Cosa impariamo dall’esperimento di Michelson e Morley. 

Il risultato dell’esperimento di Michelson e Morley, sebbene inaspettato per le proprietà che ci si aspetteremmo da una velocità, dimostrava però che anche i fenomeni elettromagnetici rispettano il Principio di Relatività. Infatti quel termine che rappresentava la velocità di propagazione dei fenomeni elettromagnetici nel vuoto risultava avere un valore costante, e quindi indipendente dal moto del sistema di riferimento in cui ci si trova. Questo garantiva in pratica l’invarianza delle leggi dell’elettromagnetismo nel passare da un sistema di riferimento a un altro: le formule che descrivevano i fenomeni elettromagnetici restavano sempre le stesse, indipendentemente dal moto del sistema di riferimento. 
D’altra parte, se le leggi dell'elettromagnetismo fossero state diverse in casa, su un treno, o su un pianeta che si muove a 30 Km/s attorno al sole e 200 km/s verso l’ammasso di galassie della Vergine, ce ne saremmo accorti, per non parlare poi dei problemi che avrebbe creato nel far funzionare il nostro cervello e il corpo umano, con tutti quegli impulsi elettrici a comportarsi in modo diverso a seconda del sistema di riferimento in cui ci troviamo! Quindi che il principio di relatività debba valere anche per le leggi dell'elettromagnetismo è in pratica una cosa ovvia e naturale, necessaria a renderci il mondo comprensibile. E fortunatamente gli esperimenti mostravano che anche i fenomeni elettromagnetici rimangono invariati (non cambiano la loro espressione matematica) in qualunque sistema di riferimento inerziale, pur contenendo al loro interno una velocità.  

Ma come era possibile questo, visto che le trasformazioni di Galileo hanno come diretta conseguenza la legge di somma delle velocità fra sistemi inerziali diversi? 
Perché se inseguo un raggio di luce, o scappo da esso, la sua velocità misurata risulta sempre la stessa? Perché le velocità si sommano per automobili e tapis roulant, ma non per i raggi di luce? 
E se le Trasformazioni di Galileo non fossero corrette? 

Se per velocità estremamente elevate, prossime alla velocità della luce, quelle formule smettessero di valere? 

Se fossero solo un’approssimazione (un’ottima approssimazione!) che vale per piccole velocità rispetto alla velocità della luce? In fin dei conti, prima della scoperta dei fenomeni elettromagnetici, la fisica era sostanzialmente il moto dei pianeti, le molle, i pendoli, pesi che cadevano, e il comportamento dei gas. Tutti fenomeni per i quali le velocità in gioco sono molto piccole rispetto alla velocità della luce.  In generale, le velocità a cui siamo abitati sono molti ordini di grandezza inferiori alla velocità della luce, e per quanto ci sforziamo di inseguire o scappare da un raggio di luce, non c’è proprio storia! È soltanto con la scoperta e la formalizzazione matematica dei fenomeni elettromagnetici che ci scontriamo con una velocità che è molto al di sopra degli standard delle velocità a cui eravamo abituati.  

Le Trasformazioni di Lorentz. 

A questo punto, quindi, visto che la costanza della velocità della luce in qualunque sistema di riferimento è un fatto sperimentale, il problema diventa: quali trasformazioni matematiche dovremmo usare per mettere in relazione le coordinate di due sistemi di riferimento inerziali qualunque in moto relativo fra loro, in modo da far restare inalterate le equazioni dell'elettromagnetismo (che sappiamo essere corrette con grande precisione) in entrambi i sistemi di riferimento? 

Non certo le trasformazioni di Galileo, che certamente avrebbero l'effetto di far cambiare la velocità della luce, e che proprio per questo sarebbero in contrasto con l'osservazione sperimentale che certifica che la velocità della luce non si lascia sommare alla velocità del sistema di riferimento, qualunque essa sia.

Le trasformazioni matematiche giuste vanno cercate imponendo quindi che esse lascino inalterate le equazioni dell'elettromagnetismo passando da un sistema di riferimento inerziale a un altro, e prendono il nome di Trasformazioni di Lorentz.  
Le trasformazioni di Lorentz appaiono di primo acchito molto diverse da quelle di Galileo, e contengono radici quadrate e termini del tipo v/c, dove v è la velocità di un sistema di riferimento rispetto all'altro, come lo era anche nel caso delle trasformazioni di Galileo, mentre c è la velocità della luce che - abbiamo visto - deve restare sempre costante, qualunque sia il sistema di riferimento da cui si osserva il fenomeno. In pratica, quindi, il termine v/c è un indicatore di quanto stiamo andando veloci rispetto alla velocità della luce. 

Quindi, se consideriamo il caso in cui v è molto minore di c (e questo nella vita di tutti i giorni succede praticamente sempre al di fuori dei fenomeni elettromagnetici) il termine v/c diventa trascurabile, e - magia! - le Trasformazioni di Lorentz diventano in pratica le trasformazioni di Galileo! Ovvero, nell'approssimazione di basse velocità rispetto alla velocità della luce, Galileo va alla grande!  

È solo quando consideriamo fenomeni in cui v (la velocità relativa dei due sistemi di riferimento) diventa prossima alla velocità della luce, che ci aspettiamo differenze importanti! E l'elettromagnetismo è il campo in cui questo avviene per definizione. 
Quindi ci appare anche chiaro perché nessuno, fino agli albori del ventesimo secolo, si fosse mai accorto dei fenomeni relativistici: il motivo è che le velocità che normalmente raggiungiamo nella quotidianità sono molto inferiori alla velocità della luce. Il problema si è posto soltanto con la scoperta dei fenomeni elettromagnetici, e questo ha obbligato i fisici a rivedere nel profondo le idee della fisica classica, che tuttavia restano perfettamente valide nella gran parte dei fenomeni con i quali ci confrontiamo quotidianamente, quando le velocità in gioco sono piccole rispetto alla velocità della luce. 

La legge Relativistica della somma delle velocità 

Tornando alle Trasformazioni di Lorentz, la legge di somma delle velocità che ne deriva è molto diversa dalla legge Galileiana che ben conosciamo, quando le velocità in gioco sono prossime alla velocità della luce. In quel caso scopriamo che "quasi c" + "quasi c" fa ancora "quasi c". Quindi anche se corriamo velocissimi dietro a un raggio di luce, lo vedremo sempre allontanarsi da noi alla solita velocità della luce. Prima della scoperta dei fenomeni elettromagnetici, invece, tutti i fenomeni meccanici che erano stati studiati implicavano comunque velocità così basse rispetto alla velocità della luce da rendere le Trasformazioni di Galileo un'approssimazione perfettamente valida. Quindi non sorprende che la Relatività Ristretta non fosse saltata fuori prima della scoperta dei fenomeni elettromagnetici, perché la relatività ristretta è un tutt'uno con i fenomeni elettromagnetici! L'esistenza stessa del campo magnetico, tanto per dirne una, è un effetto della Teoria della Relatività! Non è mica un caso che Einstein avesse intitolato il suo primo articolo scientifico su questo argomento: “L’elettrodinamica dei corpi in movimento”! 

E a questo punto si capisce anche che tutte le "stranezze" della Teoria della Relatività, le misure delle distanze e del tempo che variano da un sistema di riferimento all'altro, non piovono dall'alto come un ipse dixit, ma sono la diretta conseguenza logica del fatto che la velocità della luce ci appaia la stessa in qualunque sistema di riferimento. 
Infatti, se vogliamo far restare costante una velocità, che è uno spazio diviso un tempo, qualunque sia il sistema di riferimento da cui quella velocità è misurata, è chiaro che dobbiamo "aggiustare" spazio e tempo in modo opportuno. E il modo opportuno salta fuori automaticamente dalle Trasformazioni di Lorentz, che sono le trasformazioni matematiche che garantiscono la validità del Principio di Relatività in qualunque sistema di riferimento inerziale per qualunque legge fisica. 
Consideriamo due sistemi di riferimento S e S’, e un osservatore in quiete in S. Chiamiamo v il valore della velocità del sistema S’ rispetto a S, e supponiamo per semplicità che il moto avvenga solo lungo la direzione x, parallela a x’. Supponiamo poi che il punto P in figura si muova anch’esso (per semplicità) lungo la stessa direzione x (parallela a x’) con velocità u’ rispetto al sistema di riferimento S. In questo caso, secondo le trasformazioni di Galileo, la velocità di P vista dal sistema di riferimento S’ avrebbe il valore u, mentre, se misurata dal sistema S, essa varrebbe: 

u=u’+v.  

È la ben nota legge di somma delle velocità che tutti abbiamo sperimentato (vedi il capitolo “Legge della somma delle velocità”. La relazione appena scritta si ricava assumendo valide le Trasformazioni di Galileo per mettere in relazione le coordinate spazio-temporali dei due sistemi di riferimento S e S’. La stessa formula però, nel caso relativistico, deve essere ricavata assumendo valide le Trasformazioni di Lorentz, e non le Trasformazioni di Galileo, e risulta essere: 

u=(u′+v)/(1+u′v/c^2),  

in cui: 

•  u′ è la velocità di un oggetto nel sistema di riferimento in movimento, 
•  v è la velocità del sistema di riferimento rispetto all’osservatore, 
• u è la velocità risultante osservata, 
• c è la velocità della luce. 

In questa relazione, il valore di u non può mai superare c. Si vede infatti come anche nel 
caso estremo di u’ e v entrambi pari a c, il valore di u resta comunque uguale a c. 

Ma allora che ne è delle leggi della meccanica? 

Ma a questo punto ci si potrebbe chiedere: ma se le trasformazioni corrette per mettere in relazione le coordinate di due sistemi di riferimento inerziali in moto relativo fra loro sono le trasformazioni di Lorentz, e non quelle di Galileo, come è possibile garantire l'invarianza delle leggi della meccanica (per capirci, F=ma, p=mv, la formula dell'energia cinetica, etc) nel passare da un sistema inerziale a un altro? Leggi che - lo sappiamo fin dalla scuola - restano invece invarianti nel passaggio tra sistemi di riferimento diversi se vengono applicate le Trasformazioni di Galileo! Abbiamo infatti appena visto che le Trasformazioni di Galileo rappresentano solo una ottima approssimazione delle Trasformazioni di Lorentz valida per velocità molto minori di c! 
Abbiamo aggiustato l'elettromagnetismo ma adesso ci ritroviamo il problema con le leggi della meccanica!  

Ma attenzione: la meccanica classica, e la sua formalizzazione matematica, è stata storicamente sviluppata per fenomeni in cui le velocità in gioco sono molto piccole rispetto alla velocità della luce. Quindi, assumendo vere (e sperimentalmente lo sono!) 
le trasformazioni di Lorentz, rovesciamo il problema e chiediamoci: come dovrebbero essere le leggi della meccanica per non cambiare di espressione matematica nel passare da un sistema di riferimento a un altro, se applicassimo non le trasformazioni di Galileo, ma quelle di Lorentz? 

Se facciamo questo esercizio, scopriamo che le leggi della meccanica veramente invarianti, quelle che rispetterebbero il Principio di Relatività, la cui validità in qualunque sistema inerziale è garantita dalle Trasformazioni di Lorentz, sono un po' più complicate di quelle della fisica classica. Al loro interno compaiono i soliti termini v/c (che ci ricordano la “scala” a cui la Relatività Ristretta diventa rilevante rispetto alla meccanica classica), e saltano fuori anche cose del tipo E = mc². La famosa equivalenza massa-energia è anche essa una conseguenza della richiesta che il Principio di Relatività sia valido per tutte le leggi fisiche, in qualunque sistema di riferimento inerziale. In particolare, se un corpo di massa m è fermo (e quindi il suo impulso p è nullo), la sua energia a riposo non è zero, ma vale E = mc².   

Formule della dinamica relativistica (p, E):   

Di nuovo, se v è molto minore di c, anche la formula dell'impulso relativistico diventa perfettamente approssimata dalla legge della fisica classica, p = mv, che studiamo a scuola. Non è quindi facendo scontrare bocce di biliardo che ci accorgiamo della Teoria della Relatività, perché le bocce di biliardo vanno troppo piano per mostrarne gli effetti. Però se invece che con un biliardo stessimo giocando con un acceleratore di particelle, che accelera le "bocce" fino a conferire loro velocità prossime a quella della luce, questi effetti diventerebbero ben visibili. Di fatto, tutti gli acceleratori di particelle e tutti gli esperimenti che vi si svolgono, oltre a tutti i fenomeni e gli esperimenti che coinvolgono particelle elementari ad alta energia, come ad esempio i raggi cosmici, devono imprescindibilmente tenere conto della Teoria della Relatività. 
Quindi non deve sorprendere se per secoli non ci siamo accorti che la Teoria della Relatività era già con noi: semplicemente le nostre attività sono sempre troppo "lente" rispetto alla velocità della luce. Soltanto con la scoperta e la successiva comprensione dei fenomeni elettromagnetici, che implicano automaticamente il dover descrivere la propagazione delle onde elettromagnetiche, ci siamo accorti che la fisica cosiddetta "classica" non funzionava bene, ed era solo un’approssimazione (ottima in molti casi) di una formulazione più ampia ed esaustiva dei fenomeni fisici. 

Due parole su E = mc². 

Una conseguenza della Teoria della Relatività è che l’impulso e l’energia di un corpo di massa m sono descritti matematicamente in modo diverso dalle formule della fisica classica. Sia nelle componenti dell’impulso che nel caso dell’energia, compare a denominatore il fattore di Lorentz che caratterizza anche le trasformazioni di coordinate spaziotemporali viste in precedenza. Nel caso di velocità piccole rispetto alla velocità della luce, le componenti dell’impulso si riconducono alle formule della fisica classica, in cui p=mv, in cui p e v rappresentano rispettivamente i vettori impulso e velocità. Nel caso dell’energia, invece, anche ponendo v=0 l’energia totale di un corpo di massa a riposo m vale E = mc². Quindi, mentre nella dinamica Newtoniana una massa m in quiete non possiede energia legata alla sua massa (a parte eventuali proprietà 
chimiche), nella Relatività Ristretta la massa m equivale (quell’uguale va inteso in questo senso) a energia. In particolari condizioni, infatti, questa massa, o una parte di essa, è convertibile in energia, che può essere numericamente molto grande, a causa del fattore di amplificazione c². Il motivo per cui la massa a riposo di un qualunque corpo non si trasforma spontaneamente in energia è dovuto al fatto che la Natura ha imposto dei lucchetti, degli impedimenti che impediscono questo processo. Essi sono dovuti a principi di conservazione (della carica elettrica, del numero di protoni e neutroni – si chiama numero barionico – etc.) che intervengono nei processi fondamentali che avvengono nella materia, e che sostanzialmente impediscono alla materia di poter scomparire da sola in un lampo di raggi gamma. 

Nota: spesso nei libri si trovano menzionati i due postulati alla base della Relatività Ristretta: la validità del Principio di Relatività e la costanza della velocità della luce in qualunque sistema di riferimento. Detta in questi termini la cosa sembra piovere dall'alto, come anche il termine “postulati” sembra evocare: qualcosa da accettare a scatola chiusa. In realtà, entrambi i "postulati" della Relatività Ristretta sono ampiamente suffragati dagli esperimenti. Tuttavia, mentre il Principio di Relatività ha un'importanza cruciale dal punto di vista concettuale, perché senza di esso il mondo risulterebbe incomprensibile, la costanza della velocità della luce è per certi versi una conseguenza del Principio di Relatività, essendo il requisito indispensabile per rendere le leggi dell’elettromagnetismo compatibili con il principio di relatività. Il punto è che, per spiegare il fallimento dell'esperimento di Michelson e Morley nel misurare la non costanza di c, si erano ipotizzate spiegazioni più o meno fantasiose e difficilmente dimostrabili sulle proprietà del presunto etere, e probabilmente all'epoca ebbe senso assumere c costante come postulato, perché l'alternativa sarebbe stata quella di accettare una di queste improbabili spiegazioni alternative. Tuttavia, oggi, questa assunzione ci appare fortemente subordinata alla validità del Principio di Relatività per qualunque legge fisica, comprese quelle dell’elettromagnetismo, che contengono al loro interno la velocità delle onde elettromagnetiche.