Pensare con l'analisi dimensionale

3. La "catastrofe" ultravioletta

percorso di Luca Vecchi

La temperatura T di un sistema controlla una forma di energia chiamata calore. Combinando T con la costante di Boltzmann \(k_B\) (in realtà introdotta per la prima volta da Planck!) otteniamo infatti l'energia cinetica media di una particella in equilibrio termico, \(k_B T\). Questa osservazione, assieme all'analisi dimensionale, ci permette di ricostruire diverse proprietà dei gas e di vari sistemi termodinamici.

 

Prima di affrontare il problema del corpo nero, "scaldiamoci" utilizzando l'analisi dimensionale per ricavare la legge del gas perfetto. Ricordate che un gas perfetto di N particelle in equilibrio termico è descritto dalla pressione (p), dal suo volume (V) e dall'energia termica totale (N \(k_B T\)). La pressione è una forza diviso un'area, mentre una forza è una massa per un'accelerazione. Il lavoro, cioè una forza per una distanza, è una forma di energia e deve avere la stessa unità di misura di quest'ultima. Quindi abbiamo che l'equazione di stato di un qualunque gas le cui proprietà sono controllate unicamente da p, V e \(k_B T\) deve essere

\(pV=a_4 N k_B T.\)

Il coefficiente \(a_4\) è ancora una volta un semplice numero, che in questo caso specifico vale \(a_4=1\). Notate che ci deve essere un fattore N perché pV è una quantità estensiva, cioè che aumenta con il numero di particelle in equilibrio termico. Quindi anche il membro di destra deve esserlo.

planck

Uno dei fisici più influenti della fisica moderna: Max Planck. Malgrado per sua natura fosse estremamente conservatore e fortemente radicato alle solide basi teoriche della fisica del tempo, arrivò alla conclusione che l'unico modo per spiegare la radiazione del corpo nero era teorizzare che la luce di frequenza \(\nu\) avesse un'energia quantizzata in multipli di \(E_\gamma=2\pi \hbar \nu\) (ora nota come l'energia del fotone). Questa rivoluzionaria intuizione permise lo sviluppo della Meccanica Quantistica.

 

Consideriamo un problema il cui studio giocò un ruolo essenziale nello sviluppo della fisica moderna: il corpo nero (vedete anche la domanda della Rubrica Esperto 486 e il percorso sulla Meccanica Quantistica). Il corpo nero è un sistema fisico in cui la radiazione elettromagnetica al suo interno ha raggiunto l'equilibrio termico. L'energia \(E_{cn}\) del corpo nero è una quantità estensiva quanto il suo volume V, cioè che cresce con il numero dei costituenti in equilibrio. Il rapporto di queste due, ovvero la densità di energia termica per unità di volume, è quindi una quantità intensiva (che rimane invariata al variare del numero dei costituenti in equilibrio) e deve poter essere espressa in funzione di variabili intensive. Nello studio della radiazione del corpo nero non abbiamo altri parametri intensivi a parte la temperatura. La pressione, la densità media di fotoni, il rapporto \(E_{cn}/V\), ecc. devono essere tutti scritti come funzione della sola temperatura.

Ci sono delle costanti fondamentali di cui tener conto nel nostro problema? Sicuramente sì. Non dobbiamo dimenticarci che stiamo studiando la radiazione elettromagnetica. Nelle nostre equazioni compare quindi la velocità della luce c. Manca altro? Vediamo. Usando l'analisi dimensionale, come mostrato nelle sezioni precedenti, scopriamo che non possiamo ricavare nessuna combinazione con le unità di misura di una densità di energia se usiamo solo \(k_B T\) e c. Detto diversamente, le uniche possibilità sono \(E_{cn}/V=0\) o \(E_{cn}/V=\infty\). Nessuna delle due opzioni è accettabile in quanto confutate sperimentalmente! Questa è la cosiddetta "catastrofe" ultravioletta vista nell'ottica dell'analisi dimensionale.

L'analisi dimensionale ci dice chiaramente che per spiegare il corpo nero occorre un ingrediente nuovo. Ma non ci dice cosa. Sicuramente deve essere una quantità dimensionalmente indipendente dall'energia e dalla velocità, altrimenti sarebbe una "copia" di \(k_B T\) e c e il problema non verrebbe risolto. La soluzione viene dal genio di Planck nella forma di una nuova costante di Natura, la costante di Planck \(\hbar\), con le unità di misura di un momento angolare (ovvero, usando la notazione introdotta prima, \([\hbar]=[ML^2/T])\). Aggiungendola alla nostra lista di variabili indipendenti possiamo finalmente ottenere un'espressione non triviale per la densità di energia del corpo nero:

\(\frac{E_{cn}}{V}=a_5\frac{(k_B T)^4}{\hbar^3c^3}.\)

Il coefficiente \(a_5\) è un numero puro che in questo caso vale \(a_5=\pi^2/15=0.6579...\). Ancora una volta il conto esplicito serve solo a calcolare un numero vicino ad uno.

L'introduzione della costante di Planck non risolve solo il problema del corpo nero, ma apre un'intero mondo della fisica. Legando un'unità di lunghezza a quella di un impulso permette di scoprire la dualità onda-particella e, come vedremo di seguito, di spiegare la stabilità dell'atomo di idrogeno, decretando cosi la nascita della Meccanica Quantistica.

In questa sezione l'analisi dimensionale diventa uno strumento di pura deduzione scientifica. La fisica classica del corpo nero era ad un vicolo cieco. Grazie all'analisi dimensionale è possibile capire che occorre introdurre un nuovo parametro fondamentale della Natura. Avrà ragionato cosi anche Max Planck?!

 

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