Pensare con l'analisi dimensionale

6. Ai confini della conoscenza...

percorso di Luca Vecchi

L'analisi dimensionale non può fallire mai, è una delle poche certezze che abbiamo. Come abbiamo visto per il corpo nero - e come è avvenuto in diverse altre situazioni che per limiti di spazio non abbiamo avuto modo di discutere qui - ogni volta che l'analisi dimensionale ha portato ad un paradosso nel passato, ovvero ogni volta che sembrava stesse fallendo, è stato perché i fisici erano in procinto di scoprire qualcosa di importante. Ci sono situazioni simili anche nella fisica contemporanea. Esistono infatti due problemi fondamentali della fisica moderna che si manifestano per via di un'apparente violazione dell'analisi dimensionale. Questi sono noti rispettivamente come "problema della gerarchia" e "problema della costante cosmologica". Sono legati al fatto che l'analisi dimensionale suggerisce che ogni descrizione ultima della Natura predice un valore per la massa dell'Higgs e l'energia fondamentale del nostro Universo molto, tanto, troppo più grande rispetto a quello misurato... Perché?!

 

In meccanica il valore assoluto dell'energia non ha valore fisico, ciò che conta sono solo differenze di energia. Quando la gravità entra in gioco questo non è più vero perché Einstein ci ha insegnato che la gravitazione ha origine dall'energia. L'energia del vuoto del nostro Universo contribuisce ad esempio alla continua espansione di quest'ultimo. La velocità di espansione è traducibile in una misura della densità di energia del cosmo, chiamata costante cosmologica, vedere anche risposta 324 nella Rubrica Esperto. Il suo valore sperimentale è approssimativamente

\(\rho_{Univ}=5\times10^{-10} kg/(m~s^2).\)

Come ogni altro osservabile del mondo macroscopico, i fisici si aspettano di poter spiegare il suo valore con la fisica dell'infinitamente piccolo. Il calcolo, tuttavia, non è solo estremamente complesso, ma impossibile da impostare. Il fatto è che la costante cosmologica riceve contributi importanti da fisica ignota che potrebbe esistere a distanze cosi piccole da non essere ancora state esplorate. Invece che affrontare il conto esplicitamente, semplifichiamoci la vita e usiamo l'analisi dimensionale. Per ottenere una combinazione con le unità dimensionali corrette per essere interpretata come una costante cosmologica, occorre avere un parametro di massa. Pur non conoscendo la teoria ultima della Natura, possiamo certamente aspettarci che essa contenga una grandezza \(\Lambda\) con un'unità di massa. Se tale teoria è in grado di spiegare tutto, infatti, deve anche essere in grado di determinare la massa dell'Higgs, la quale a sua volta controlla tutte le masse delle particelle elementari che conosciamo. Seguendo l'analisi dimensionale possiamo quindi stimare la massa dell'Higgs \(m_H\) e la costante cosmologica \(\rho_{Univ}\) come

\(m_H=a_9\Lambda,~~~~~~~~~~\rho_{Univ}=a_{10}{\Lambda^4\over\hbar^3c^3}.\)

In tutti i casi in cui il conto numerico si può fare esplicitamente i parametri adimensionali risultano essere vicini ad uno, come abbiamo visto negli esempi precedenti. Ma se \(a_9\) fosse veramente vicino ad uno allora dovremmo concludere che la fisica fondamentale è caratterizzata da una massa dell'ordine della massa dell'Higgs, cioè le energie attualmente esplorate dal Large Hadron Collider di Ginevra... è veramente possibile che sia cosi? Non pare proprio. Tutti gli esperimenti indicano che il Modello Standard è la corretta descrizione della Natura fino ad energie di diversi ordini di grandezza superiori a \(m_Hc^2\). Questo significa che, ammettendo che esistano nuove leggi della fisica, esse devono essere associate a distanze molto piccole e quindi a masse \(\Lambda\) molto molto alte, certamente \(\Lambda\gg m_H\)... Il problema che sorge dal fatto che questo dato sperimentale non sembra essere compatibile con la nostra aspettativa teorica che \(a_9\) sia vicino ad 1 definisce un puzzle che chiamiamo "problema della gerarchia", perché segnala la nostra ignoranza in merito all'origine della separazione tra \(\Lambda\) e \(m_H\).

Dedichiamoci ora alla costante cosmologica. Per essere ottimisti ammettiamo che \(\Lambda\) abbia il valore minimo che possiamo accettare, dell'ordine di grandezza della massa dell'Higgs (approssimativamente uguale a 134 volte la massa del protone). Paragonando il valore cosi ottenuto,

\(\rho_{Univ}=\frac{a_{10}m_H^4}{\hbar^3c^3},\)

con i dati sperimentali troviamo che il nostro parametro adimensionale deve essere \(a_{10}=10^{-55}\)! Di male in peggio... Il perché l'analisi dimensionale fallisca cosi miseramente in questa stima è una domanda che identifica il cosiddetto "problema della costante cosmologica".

 

3 evoluzione spazio cuicchio innf

 Da circa quattro miliardi di anni l'espansione del nostro Universo è controllata da una forma di energia che chiamiamo "oscura". La costante cosmologica, ovvero l'energia dello stato fondamentale dell'Universo, costituisce parte di questa quantità, e per la maggior parte degli scienziati ne rappresenta il contributo dominante. Il "problema della costante cosmologica" è rappresentato dal fatto che il calcolo teorico di quest'ultima è decine di ordini di grandezza più grande del valore misurato!

Le stime teoriche della massa dell'Higgs e della costante cosmologica sono diversi ordini di grandezza più grandi del valore misurato. Questa dscrepanza ci lascia la forte sensazione che ci stiamo perdendo qualche ingrediente essenziale nella descrizione della fisica dell'Higgs e del cosmo, proprio come avvenne con la radiazione del corpo nero attorno al 1900. Come nel passato, anche ora l'analisi dimensionale è in grado di farci apprezzare in maniera semplice ed intuitiva alcuni dei più grandi misteri della scienza. Non ci resta che aspettare arrivi il prossimo Planck o un nuovo Bohr ad indicarci la via!

 

 

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