Pensare con l'analisi dimensionale

5. La gravità quantistica

percorso di Luca Vecchi

 

In Meccanica Quantistica si determina la probabilità che un evento possa accadere. Vogliamo applicare questa visione alla Relatività Generale di Einstein e vedere cosa succede.

Per essere concreti assumiamo di far collidere due particelle puntiformi con un'energia E grandissima, così da poter trascurare le loro masse, e chiediamoci qual è la probabilità che avvenga un urto mediato dalla forza di gravità. La costante di interazione che governa il processo è la costante di Newton \(G_N\). Gli unici altri parametri che possono giocare un ruolo sono E, la velocità della luce e la costante di Planck. La velocità della luce è naturale introdurla perché stiamo studiando la dinamica di particelle con velocità molto alte e quindi dobbiamo rispettare le leggi della Relatività. La presenza della costante di Planck è anch'essa intuibile. Infatti il problema che ci stiamo ponendo, cioè il calcolo della probabilità di una collisione, è intrinsecamente quantistico. È logico immaginare che \(\hbar\) debba giocare un ruolo cruciale, ed esiste anche un argomento immediato per verificarlo: senza \(\hbar\) non è possibile costruire nessuna combinazione di \(G_N\), E, c che sia adimensionale come una probabilità! Se non ci fosse \(\hbar\) non potremmo nemmeno iniziare a parlare della probabilità che avvenga la collisione delle nostre due particelle puntiformi. L'unico parametro adimensionale del problema in effetti è

\(\alpha_{grav}(E)=\frac{G_NE^2}{\hbar c^5}.\)

È \(\alpha_{grav}\) la combinazione che ci aspettiamo controlli la probabilità della collisione tra particelle nella teoria di Einstein (si veda il riquadro per dettagli).

Max Planck and Albert EinsteinMax Planck e Alfred Einstein. L'unione della Meccanica Quantistica e della Relatività Generale presenta a tutt'oggi numerosi quesiti irrisolti, come è illustrato nella presente sezione studiando la probabilità di un urto gravitazionale ad altissime energie.

Notate che la probabilità a cui ci stiamo riferendo è un'entità quantistica di un processo gravitazionale. Al contrario di ciò che qualcuno potrebbe erroneamente pensare, essa non comporta nessun problema di principio. Fintanto che le energie coinvolte sono sufficientemente basse, \(\alpha_{grav}(E)\) rimane piccolo e la teoria della Relatività di Einstein è perfettamente compatibile con la Meccanica Quantistica. I problemi nascono solo quando l'energia cresce e \(\alpha_{grav}(E)\) diventa grande rispetto ad uno. In tale regime la probabilità del processo eccede uno, il che è chiaramente inaccettabile... Di conseguenza, la teoria di Einstein non è in grado di dirci cosa succede ad alte energie e va sicuramente modificata! Ma come? Forse entrano in gioco nuove interazioni, nuove particelle? Chissà.

 

Un calcolo esplicito mostra che la probabilità \({\cal P}\) della collisione tra due particelle puntiformi nella teoria di Einstein è proporzionale al quadrato del nostro parametro adimensionale:

\({\cal P}=a_8(\theta)~\alpha_{grav}^2,\)

con \(a_8(\theta)\) una funzione positiva dell'angolo tra gli stati iniziali e finali. Notate che un altro modo di scrivere il nostro parametro adimensionale è

\(\alpha_{grav}(E)=\frac{E^2}{E_{Planck}^2},\)

dove abbiamo introdotto l'energia di Planck (circa 1019 volte l'energia del protone a riposo), vedi anche risposta 223 della Rubrica Esperto, definita come

\(E_{Planck}=\sqrt{\hbar c^5/G_N}.\)

La questione che si pone nella gravità quantistica è in un certo modo analoga a quanto già visto nell'atomo di idrogeno. Come la regione (ipotetica) in cui la costante di struttura fine soddisfa \(\alpha_{em}=1\) identifica la separazione tra sistema non-relativistico e relativistico, cosi vediamo che \(\alpha_{grav}=1\) identifica l'inizio di un nuovo regime della fisica. Esistono però due differenze sostanziali tra l'attuale problema e quello dell'atomo di idrogeno. Il primo è che \(\alpha_{em}\) risulta essere numericamente molto piccolo rispetto ad uno, il che indica che gli effetti relativistici sono in prima approssimazione sempre trascurabili. Al contrario, \(\alpha_{grav}\) cresce indefinitamente con l'energia e perciò il nuovo regime diventa per forza importante ad energie sufficientemente alte. Il secondo è che nel caso della gravità non sappiamo affatto cosa accada nel nuovo regime e nemmeno se riusciremo mai a esplorarlo direttamente.

 

 

La teoria della gravità di Einstein combinata con la Meccanica Quantistica è caratterizzata da un nuovo parametro con le unità di misura di un'energia: l'energia di Planck. Essa rappresenta la soglia superata la quale una teoria più fondamentale della gravità deve necessariamente entrare in gioco (se siamo fortunati potrebbe farlo ad energie più basse, però). Ci sono vari modi di diverso grado di sofisticazione per comprendere che la nostra conoscenza della Natura è incompleta ad energie superiori a quella di Planck. Qui abbiamo mostrato che è possibile persino farlo con poche considerazioni di carattere dimensionale: a energie troppo alte il parametro adimensionale che controlla la forza di gravità nella teoria di Einstein, \(\alpha_{grav}\), diventa troppo grande e le predizioni di tale teoria non sono più affidabili.

 

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