percorso di Giancarlo Cella
Se consideriamo due particelle con masse M1 M2 e cariche Q1,Q2 in moto in un campo elettrico dato, troviamo che esse saranno soggette a due forze
Dalla seconda legge di Newton che lega forza ad accelerazione, F=Ma, troviamo che
quindi due particelle con diverso rapporto tra carica e massa avranno differenti accelerazioni. Ad esempio, se inizialmente ferme, inizieranno a muoversi in modo diverso.
La forza gravitazionale si comporta in un altro modo.
Consideriamo le due particelle sospese ad una distanza d dal centro della Terra.
Le forze in questo caso saranno
dove MT è la massa terrestre. Le accelerazioni varranno quindi
saranno cioè le stesse nei due casi. In altre parole tutte le masse vengono accelerate nello stesso modo dalla gravità.
Ciò è dovuto al fatto che la massa gioca un doppio ruolo nelle relazioni precedenti: da una parte essa esprime l'inerzia di un corpo, cioè la sua tendenza a mantenere il suo stato di moto a velocità costante. Dall'altra l’intensità della forza di gravità è proporzionale ad essa.
I due effetti si cancellano quindi esattamente.
Il fatto che la forza di gravità che agisce su un corpo sia proporzionale alla sua massa inerziale è un fatto sperimentale, che è ad oggi verificato con altissima precisione.
L'idea di Einstein è che questa caratteristica peculiare della forza di gravità rivela qualcosa di profondo sulla sua natura.
Consideriamo la seguente situazione: una cabina si trova sospesa nello spazio ad una distanza d dal centro della Terra, e al suo interno si trovano diverse masse. Per quanto detto, sia la cabina che le masse si muoveranno con la stessa accelerazione verso il centro della Terra. Dal punto di vista di un osservatore esterno, le loro traiettorie saranno approssimativamente paraboliche, come le linee continue in Figura 2.
Figura 2: Masse in caduta libera in un campo gravitazionale, all'interno di una cabina anch'essa in caduta libera (in giallo). Le traiettorie continue sono quelle relative ad un osservatore esterno in quiete. Le traiettorie tratteggiate sono relative ad un osservatore in caduta libera con la cabina.
Dal punto di vista di un osservatore all'interno della cabina, anch'esso accelerato, tutti gli effetti della gravità terrestre appariranno cancellati e le particelle si muoveranno secondo traiettorie rettilinee, diverse a seconda delle posizioni e velocità iniziali. Quindi, nel sistema di riferimento in caduta libera della cabina, non è possibile rendersi conto in alcun modo della presenza della gravità terrestre. Sembra quindi naturale concludere che la forza di gravità in realtà non è reale, nel senso che è sempre possibile eliminarne gli effetti ponendosi in un sistema di riferimento opportuno, un poco come succede per le forze apparenti come la forza centrifuga o la forza di Coriolis.
In realtà questa conclusione è prematura, come possiamo comprendere esaminando con maggiore attenzione l'esempio appena considerato. Un presupposto per la validità del ragionamento fatto è che l'attrazione gravitazionale della Terra sia la stessa in tutti i punti all'interno della cabina. Ma questo non è esatto: il fondo della cabina è più vicino al centro della terra dell'estremità opposta. Inoltre l'attrazione gravitazionale è in ogni punto diretta verso il centro della Terra, quindi le particelle a sinistra avranno una componente della accelerazione diretta verso destra e viceversa. Si tratta di effetti molto piccoli se la distanza della cabina dal centro della Terra è molto maggiore delle sue dimensioni, ma non nulli.
Cosa si osserverà allora, in realtà, all'interno della cabina? Supponiamo di avere inizialmente cinque particelle in quiete, disposte come in Figura 3. La particella A è posta al centro, e la supporremo avere la stessa accelerazione della cabina. La particella B è più vicina al centro della terra di A , e quindi avrà una accelerazione maggiore. Al contrario la particella C sarà più lontana, ed una accelerazione minore. Infine le particelle D ed E avranno una accelerazione non parallela a quella della cabina.
In Figura 3, a sinistra, sono rappresentate le accelerazioni delle particelle misurate da un osservatore esterno in quiete, e a destra quelle misurate da un osservatore solidale con la cabina. Quest'ultimo potrà constatare che le particelle B e C inizieranno ad allontanarsi dal centro, mentre D ed E si avvicineranno. L'effetto sarà tanto maggiore quanto più grandi le separazioni tra le particelle, e sarà presente in un sistema di riferimento qualsiasi dato che abbiamo a che fare con moti relativi. In altre parole in generale non è possibile eliminare completamente gli effetti fisici della forza gravitazionale se questa non è la stessa in tutti i punti.
Figura 3: Masse in caduta libera nel campo gravitazionale terrestre. A sinistra, le accelerazioni in un sistema di riferimento in quiete. A destra, le accelerazioni nel sistema di riferimento della cabina. Le seconde si ottengono dalle prime sottraendo l'accelerazione della cabina, che si suppone uguale all'accelerazione della particella centrale.
Cosa resta allora dell'idea che la gravità sia una forza solo apparente? Einstein era stato colpito profondamente da essa. Nelle sue parole: "Fu allora che ebbi il pensiero più felice della mia vita, nella forma seguente. Il campo gravitazionale ha solo un’esistenza relativa ... Infatti, per un osservatore che cada dal tetto di una casa, non esiste - almeno nelle immediate vicinanze - alcun campo gravitazionale. In effetti se l’osservatore lascia cadere dei corpi, questi permangono in uno stato di quiete o di moto uniforme rispetto a lui.".
La parola chiave qui è "almeno nelle immediate vicinanze". Quanto abbiamo detto continua ad essere vero, in modo approssimato, in ogni piccola regione di spazio e per intervalli di tempo non troppo grandi. E l'approssimazione sarà tanto migliore tanto più piccola la regione e ridotto l'intervallo.
Possiamo formulare quindi il cosiddetto principio di equivalenza, che Einstein usò come guida per elaborare la Relatività Generale: tutte le leggi della natura assumono la stessa forma in una piccola regione di spazio e in un piccolo intervallo di tempo scegliendo in essi un opportuno sistema di riferimento (la cabina in caduta libera).