Relatività Generale

3. Conseguenze del principio di equivalenza

percorso di Giancarlo Cella

Utilizzando il principio di equivalenza e semplici ragionamenti geometrici è possibile in molti casi predire l'effetto della gravità.

 Deflessione della luce

Consideriamo la propagazione di un raggio luminoso all'interno della nostra cabina in caduta libera. Il principio di equivalenza ci dice che se il raggio viene diretto orizzontalmente, continuerà a muoversi in tale direzione dato che le leggi della fisica nel sistema di riferimento scelto sono quelle valide in assenza di gravità. Chiediamoci ora quale sia la traiettoria del raggio luminoso dal punto di vista di un osservatore esterno. Questa sarà simile alla linea gialla in Figura 2: la traiettoria sarà curva (anche se la curvatura sarà molto minore di quella rappresentata, data la grande velocità della luce, e si dovranno utilizzare le corrette regole della Relatività Speciale per addizionare la velocità della cabina a quella del raggio luminoso).
Possiamo quindi concludere che la gravitazione è in grado di deviare un raggio luminoso.

Orologi e gravitazione

Supponiamo di voler confrontare il tempo segnato da due orologi in presenza di gravitazione. Ad esempio, possiamo immaginare che uno dei due si trovi sulla cima di un palazzo, e il secondo a terra. Possiamo procedere in questo modo: consideriamo un terzo orologio inizialmente alla stessa quota della cima del palazzo, fermo ma lasciato libero di cadere. Il sistema di riferimento solidale ad esso è un sistema in caduta libera, e il principio di equivalenza ci dice che la gravitazione non ha effetto in esso. Ma inizialmente, anche l'orologio fissato sulla cima del palazzo è in quiete nello stesso sistema di riferimento, e quindi batte il tempo in sincrono.
Successivamente il terzo orologio si muove, in caduta libera, verso terra. Quando arriva al secondo orologio, vede quest'ultimo in moto con una velocità opposta a quella che ha raggiunto. La relatività speciale ci dice allora che il secondo orologio risulterà rallentato rispetto a quello in caduta libera, e quindi rispetto a quello sulla cima del palazzo. La conclusione è che se si confrontano orologi in quiete posti ad altezze diverse rispetto al suolo troveremo che il tempo scorrerà tanto più lentamente quanto più saremo in basso.
In generale quindi in prossimità di una massa il tempo “rallenta”.
Nel film Interstellar degli astronauti atterrano su un pianeta posto nelle vicinanze di un buco nero gigante, che come vedremo più avanti possiamo vedere come una grande concentrazione di massa, e verificano che ogni ora segnata dal loro orologio corrisponde a 7 anni trascorsi sulla Terra.
Questo è un caso estremo: ma l'effetto è stato verificato confrontando un orologio lasciato a terra con uno portato ad alta quota su un aeroplano. Per misurare l'effetto, che è in questo caso molto piccolo, sono serviti orologi molto precisi.
Si potrebbe pensare che effetti di questo tipo abbiano scarsa importanza per la vita di tutti i giorni, ma sorprendentemente non è così. Ormai siamo abituati ad utilizzare il nostro cellulare per sapere in ogni momento, con un errore di pochi metri, dove ci troviamo. Per poter ottenere questo il cellulare utilizza il sistema GPS (Global Positioning System), basato su 31 satelliti in orbita attorno alla Terra che emettono continuamente un segnale di sincronizzazione basato su orologi atomici di grande precisione che hanno a bordo, insieme con le informazioni sulla loro posizione. Il cellulare riceve alcuni di questi segnali e li confronta: sulla base del ritardo di ciascuno e conoscendo la velocità della luce può calcolare la posizione in cui si trova.
Ora, gli orologi sul satellite battono il tempo più velocemente degli orologi a terra, anche per l'effetto di dilatazione gravitazionale del tempo appena descritta. Se non si introducessero opportune correzioni nel giro di un giorno si accumulerebbe un errore tale da far salire l'errore sulla posizione a 10 km, rendendo quindi il sistema GPS sostanzialmente inutile.
Gli orologi che è possibile costruire sono sempre più precisi: allo stato dell'arte la dilatazione gravitazionale del tempo è stata verificata confrontando due orologi con una differenza di quota minore di un metro. Vedremo un'altra conseguenza estrema di questo effetto quando parleremo di buchi neri.

Spostamento verso il rosso gravitazionale

La dilatazione gravitazionale del tempo ha un'altra conseguenza. Immaginiamo della luce di frequenza f emessa ai piedi di un palazzo, e diretta verso l'alto. La frequenza della luce può essere utilizzata per costruire un orologio, contando le oscillazioni in un certo tempo t : più esattamente il numero di oscillazioni sarà dato da n=ft. Possiamo contare le oscillazioni anche sulla cima del palazzo, e sappiamo che il numero di oscillazioni che partono dovranno essere le stesse che arrivano. Ma, data la dilatazione dei tempi, queste oscillazioni passeranno sul palazzo in un tempo t ′ maggiore di t . Di conseguenza la luce sulla cima del palazzo dovrà avere una frequenza diversa:
formula9quindi
formula10La frequenza misurata sulla cima del palazzo sarà inferiore a quella misurata sul fondo. L’effetto è detto "spostamento verso il rosso gravitazionale" per questo motivo (la luce rossa è quella di minor frequenza nello spettro visibile).
Quindi quando un raggio luminoso si allontana da una massa, la sua frequenza si riduce. Possiamo vedere questo risultato anche da un altro punto di vista: la meccanica quantistica interpreta la luce come composta da particelle prive di massa, i fotoni, che hanno un'energia proporzionale alla frequenza: E ∝ f .
Vediamo allora che quando un fotone si allontana da una massa riduce la sua energia.
In effetti se così non fosse potremmo immaginare la situazione paradossale seguente:
- Se facciamo cadere una particella di massa m dalla cima del palazzo, inizialmente questa avrà l’energia mc2. Arrivata in fondo avrà guadagnato una certa energia cinetica ed avrà quindi una energia totale E=mc2+1/2mv2.
- Convertiamo adesso la particella in un fotone (non ci preoccupiamo qui dei dettagli) in movimento verso l'alto. Se questo non perde l'energia guadagnata risalendo, arrivato in cima al palazzo potremo convertirlo infine nella particella iniziale. Avremo alla fine guadagnato energia dal nulla.
L’effetto di spostamento verso il rosso gravitazionale è stato verificato sperimentalmente da Pound e Rebka confrontando la frequenza di un fotone lanciato dalla cima di un palazzo e ricevuto 22.5 metri più in basso.

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