4. I frattali: La geometria della complessità

di G. Bormetti, C.M. Carloni Calame, G. Montagna, N. Moreni, O. Nicrosini, M. Treccani

“Un frattale è un oggetto geometrico fatto di parti in un certo senso simili al tutto” ( B. Mandelbrot, 1987).

Questa può essere considerata la più semplice e corretta, seppure intuitiva, definizione di frattale. Ma cosa significa tale definizione? Significa che, se un oggetto è frattale, esso ci appare sempre con le stesse caratteristiche, a prescindere dalla risoluzione con la quale lo osserviamo, proprietà nota come invarianza di scala.

Si prenda, ad esempio, un’immagine di nuvole: esse sono fatte di grandi cumuli costituiti di molte protuberanze, a loro volta contenenti rigonfiamenti più piccoli, fatti di altri rigonfiamenti, e così via, fino alle dimensioni più piccole che si è in grado di vedere. In realtà, da una fotografia che mostra solo nuvole non è possibile ricavare le dimensioni delle nuvole stesse senza rifarsi ad informazioni addizionali. La caratteristica più appariscente della forma delle nuvole è la struttura fortemente irregolare, “interrotta”.

Le nuvole sono esempi di oggetti geometrici non convenzionali, per lo studio dei quali è stata sviluppata la geometria frattale. Il termine frattale deriva dall’aggettivo latino "fractus", che significa proprio "interrotto, irregolare". Qualsiasi oggetto frattale può essere caratterizzato dalla sua dimensione frattale, che misura il grado di irregolarità dell’oggetto. La dimensione frattale non è necessariamente un numero intero. Così, a differenza delle dimensioni abituali, una superficie molto irregolare, come quella delle nuvole, ha dimensione frattale compresa tra 2 e 3. Analogamente, certe curve molto frastagliate, e ne vedremo esempi, hanno dimensione frattale compresa tra 1 e 2. Oltre alle nuvole, esistono moltissimi altri esempi di geometrie frattali, sia naturali che artificiali.

Le coste della Norvegia e il profilo delle montagne sono esempi famosissimi di frattali naturali con dimensione compresa tra 1 e 2

 

Un esempio molto celebre di frattale artificiale, che può essere generato da un programma al computer, è l’insieme di Mandelbrot. L’algoritmo è molto semplice. Preso un numero complesso c, si considera la successione di numeri complessi

z_n+1 = z²_n + c; z₀= 0

se il modulo del numero complesso ottenuto iterando molte volte la formula rimane finito, allora c appartiene all’insieme di Mandelbrot.